Умножение отрицательных чисел

Как умножить отрицательное число на отрицательное?

Умножение отрицательных чисел выполняется по правилу:

Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо умножить их модули.

    \[ - a \cdot ( - b) = \left| { - a} \right| \cdot \left| { - b} \right|\]

Поскольку модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то

    \[ - a \cdot ( - b) = \left| { - a} \right| \cdot \left| { - b} \right| = a \cdot b\]

Таким образом, при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число.

На практике при умножении отрицательных чисел запись сокращают: произведение модулей не пишут, сразу переходя к результату:

    \[ - a \cdot ( - b) = ab\]

Рассмотрим примеры умножения отрицательных чисел.

Примеры.

Выполнить умножение:

1) -4∙(-12);

2) -5,2∙(-3,4);

    \[3) - \frac{5}{7} \cdot ( - 21);\]

    \[4) - \frac{8}{9} \cdot ( - \frac{{21}}{{32}});\]

    \[5) - 3\frac{2}{{11}} \cdot ( - 1\frac{7}{{15}}).\]

Решение:

1) -4∙(-12)=4∙12=48;

2) -5,2∙(-3,4)=5,2∙3,4=17,68

(применили правило умножения десятичных дробей);

    \[3) - \frac{5}{7} \cdot ( - 21) = \frac{5}{7} \cdot 21 = \frac{{5 \cdot \mathop {\overline {21} }\limits^3 }}{{\mathop {\underline 7 }\limits_1 }} = 15\]

(применили правило умножения дроби на натуральное число);

    \[4) - \frac{8}{9} \cdot ( - \frac{{21}}{{32}}) = \frac{8}{9} \cdot \frac{{21}}{{32}} = \frac{{\mathop {\overline 8 }\limits^1 \cdot \mathop {\overline {21} }\limits^7 }}{{\mathop {\underline 9 }\limits_3 \cdot \mathop {\underline {32} }\limits_4 }} = \frac{7}{{12}}\]

(применили правило умножения обыкновенных дробей);

    \[5) - 3\frac{2}{{11}} \cdot ( - 1\frac{7}{{15}}) = 3\frac{2}{{11}} \cdot 1\frac{7}{{15}} = \frac{{\mathop {\overline {35} }\limits^7 \cdot \mathop {\overline {22} }\limits^2 }}{{\mathop {\underline {11} }\limits_1 \cdot \mathop {\underline {15} }\limits_3 }} = \frac{{14}}{3} = 4\frac{2}{3}\]

(применили правило умножения смешанных чисел).

Что можно сказать о произведении трёх отрицательных чисел?

При умножении двух отрицательных множителей получаем положительное число. Умножив это положительное число на третий множитель, который является отрицательным числом, получим отрицательное число.

    \[ - a\cdot( - b)\cdot( - c) = ( - a\cdot( - b))\cdot( - c) = ab\cdot( - c) = - abc\]

Таким образом, произведение трёх отрицательных множителей — отрицательное число:

    \[ - a \cdot ( - b) \cdot ( - c) = - abc\]

При умножении четырёх отрицательных чисел получаем положительное число, так как произведение каждых двух множителей равно положительному числу, а произведение положительных чисел — положительное число:

    \[ - a \cdot ( - b) \cdot ( - c) \cdot ( - d) = ( - a \cdot ( - b)) \cdot (( - c) \cdot ( - d)) = \]

    \[ = ab \cdot cd = abcd\]

Следовательно,

    \[ - a \cdot ( - b) \cdot ( - c) \cdot ( - d) = abcd\]

Подобные рассуждения применимы и для большего числа отрицательных множителей.

При умножении чётного количества отрицательных чисел получается положительное число.

Произведение нечётного количества отрицательных множителей — отрицательное число.

Например,

    \[1) - 1\cdot( - 2)\cdot( - 3)\cdot( - 4)\cdot( - 5) = - 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5 = - 120;\]

    \[2) - 2\cdot( - 3)\cdot( - 4)\cdot( - 5)\cdot( - 10)\cdot( - 20) = \]

    \[ = 2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot10\cdot20 = 24000.\]

Добавить комментарий