Умножение положительных и отрицательных чисел

Умножение положительных и отрицательных чисел (то есть чисел с разными знаками) выполняется по следующему правилу:

Чтобы перемножить два числа с разными знаками (положительное и отрицательное число), надо перемножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «минус».

Поскольку модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен противоположному числу, получаем:

    \[a \cdot ( - b) = - \left| a \right| \cdot \left| { - b} \right| = - a \cdot b\]

То есть произведение двух чисел, одно из которых положительное, а другое — отрицательное, является отрицательным числом.

На практике при умножении чисел с разными знаками запись сокращают (модули находят устно):

    \[a \cdot ( - b) = - a \cdot b\]

Рассмотрим на конкретных примерах, как умножают положительные и отрицательные числа.

Примеры.

Выполнить умножение:

1) -9∙7;

2) 4,8∙(-3,6);

    \[3) - \frac{3}{{19}} \cdot 5;\]

    \[4)21 \cdot ( - \frac{4}{7});\]

    \[5) - \frac{6}{{25}} \cdot \frac{{10}}{{33}};\]

    \[6)\frac{{15}}{{16}} \cdot ( - \frac{{24}}{{35}});\]

    \[7)2\frac{3}{{11}} \cdot ( - 2\frac{1}{5});\]

    \[8) - 5\frac{3}{7} \cdot 4\frac{3}{8}.\]

Решение:

При умножении отрицательного числа на положительное получаем отрицательное число:

1) -9∙7=-9∙7=-63;

2) Применяем правила умножения чисел с разными знаками и умножения десятичных дробей:

4,8∙(-3,6)=-4,8∙3,6=-17,28;

По правилам умножения чисел с разными знаками и умножения дроби на натуральное число:

    \[3) - \frac{3}{{19}} \cdot 5 = - 3) - \frac{{3 \cdot 5}}{{19}} = - \frac{{15}}{{19}};\]

    \[4)21 \cdot ( - \frac{4}{7}) = - \frac{{\mathop {\overline {21} }\limits^3 \cdot 4}}{{\mathop {\underline 7 }\limits_1 }} = - \frac{{3 \cdot 4}}{1} = - 12;\]

Используем правила умножения положительных и отрицательных чисел и умножения дробей:

    \[5) - \frac{6}{{25}} \cdot \frac{{10}}{{33}} = - \frac{{\mathop {\overline 6 }\limits^2 \cdot \mathop {\overline {10} }\limits^2 }}{{\mathop {\underline {25} }\limits_5 \cdot \mathop {\underline {33} }\limits_{11} }} = - \frac{{2 \cdot 2}}{{5 \cdot 11}} = - \frac{4}{{55}};\]

    \[6)\frac{{15}}{{16}} \cdot ( - \frac{{24}}{{35}}) = - \frac{{\mathop {\overline {15} }\limits^3 \cdot \mathop {\overline {24} }\limits^3 }}{{\mathop {\underline {16} }\limits_2 \cdot \mathop {\underline {35} }\limits_7 }} = - \frac{{3 \cdot 3}}{{2 \cdot 7}} = - \frac{9}{{14}};\]

По правилам умножения чисел с разными знаками и смешанных чисел:

    \[7)2\frac{3}{{11}} \cdot ( - 2\frac{1}{5}) = - \frac{{25}}{{11}} \cdot \frac{{11}}{5} = - \frac{{\mathop {\overline {25} }\limits^5 \cdot \mathop {\overline {11} }\limits^1 }}{{\mathop {\underline {11} }\limits_1 \cdot \mathop {\underline 5 }\limits_1 }} = - \frac{{5 \cdot 1}}{{1 \cdot 1}} = - 5;\]

    \[8) - 5\frac{3}{7} \cdot 4\frac{3}{8} = - \frac{{38}}{7} \cdot \frac{{35}}{8} = - \frac{{\mathop {\overline {38} }\limits^{19} \cdot \mathop {\overline {35} }\limits^3 }}{{\mathop {\underline 7 }\limits_1 \cdot \mathop {\underline 8 }\limits_4 }} = - \frac{{19 \cdot 3}}{{1 \cdot 4}} = \]

    \[ = - \frac{{57}}{4} = - 14\frac{1}{4}.\]

При умножении нескольких чисел с разными знаками знак результата зависит от количества входящих в произведение отрицательных чисел.

При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Поэтому если количество чисел со знаком «-» чётное, результат является числом положительным, если нечётное — отрицательным.

Например,

    \[1) - 5 \cdot ( - 2) \cdot 3 \cdot ( - 7) \cdot 4 = - 840;\]

    \[2) - 7 \cdot 1\frac{2}{3} \cdot ( - \frac{{16}}{{27}}) \cdot ( - \frac{5}{{12}}) \cdot ( - 2\frac{4}{{25}}) = \]

    \[ = 7 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{{16}}{{27}} \cdot \frac{5}{{12}} \cdot \frac{{54}}{{25}} = \frac{{7 \cdot \mathop {\overline 5 }\limits^1 \cdot \mathop {\overline {16} }\limits^4 \cdot \mathop {\overline 5 }\limits^1 \cdot \mathop {\overline {54} }\limits^2 }}{{3 \cdot \mathop {\underline {27} }\limits_1 \cdot \mathop {\underline {12} }\limits_3 \cdot \mathop {\underline {25} }\limits_{\mathop {\underline 5 }\limits_1 } }} = \]

    \[ = \frac{{7 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2}}{{3 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 1}} = \frac{{56}}{9} = 6\frac{2}{9}.\]

Добавить комментарий