Умножение дробей

Умножение дробей — тема, включающая в себя действия с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями.

Запишем на одной странице все правила, касающиеся умножения обыкновенных дробей, смешанных и натуральных чисел.

1. Умножение обыкновенных дробей.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель.

Произведение числителей записывают в числитель, знаменателей — в знаменатель. Если возможно, дроби следует сократить. Проще сокращать множители, чем результат.

    \[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot d}}\]

Примеры умножения обыкновенных дробей:

    \[1)\frac{4}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{{4 \cdot 3}}{{7 \cdot 5}} = \frac{{12}}{{35}};\]

    \[2)\frac{{12}}{{35}} \cdot \frac{{20}}{{27}} = \frac{{\mathop {\overline {12} }\limits^4 \cdot \mathop {\overline {20} }\limits^4 }}{{\mathop {\underline {35} }\limits_7 \cdot \mathop {\underline {27} }\limits_9 }} = \frac{{4 \cdot 4}}{{7 \cdot 9}} = \frac{{16}}{{63}};\]

    \[3)\frac{{33}}{{40}} \cdot \frac{{50}}{{77}} = \frac{{\mathop {\overline {33} }\limits^3 \cdot \mathop {\overline {50} }\limits^5 }}{{\mathop {\underline {40} }\limits_4 \cdot \mathop {\underline {77} }\limits_7 }} = \frac{{3 \cdot 5}}{{4 \cdot 7}} = \frac{{15}}{{28}}.\]

2. Умножение обыкновенной дроби на натуральное число.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, надо числитель умножить на это число, а знаменатель оставить тем же.

    \[\frac{a}{b} \cdot c = \frac{{a \cdot c}}{b}\]

Если возможно, дробь следует сократить. Если в результате получили неправильную дробь, нужно выделить из неё целую часть.

Примеры умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

    \[1)\frac{2}{{17}} \cdot 5 = \frac{{2 \cdot 5}}{{17}} = \frac{{10}}{{17}};\]

    \[2)\frac{7}{9} \cdot 36 = \frac{{7 \cdot \mathop {\overline {36} }\limits^4 }}{{\mathop {\underline 9 }\limits_1 }} = 7 \cdot 4 = 28;\]

    \[3)\frac{{11}}{{18}} \cdot 12 = \frac{{11 \cdot \mathop {\overline {12} }\limits^2 }}{{\mathop {\underline {18} }\limits_3 }} = \frac{{11 \cdot 2}}{3} = \frac{{22}}{3} = 7\frac{1}{3}.\]

3. Умножение смешанных чисел.

Чтобы умножить смешанные числа, надо перевести их в неправильные дроби и применить правило умножения обыкновенных дробей.

    \[a\frac{b}{c} \cdot m\frac{n}{k} = \frac{{ac + b}}{c} \cdot \frac{{mk + n}}{k} = \frac{{(ac + b) \cdot (mk + n)}}{{c \cdot k}}\]

Примеры умножения смешанных чисел:

    \[1)3\frac{5}{6} \cdot 1\frac{7}{{23}} = \frac{{23}}{6} \cdot \frac{{30}}{{23}} = \frac{{\mathop {\overline {23} }\limits^1 \cdot \mathop {\overline {30} }\limits^5 }}{{\mathop {\underline 6 }\limits_1 \cdot \mathop {\underline {23} }\limits_1 }} = \frac{{1 \cdot 5}}{{1 \cdot 1}} = 5;\]

    \[2)2\frac{5}{8} \cdot 3\frac{1}{9} = \frac{{21}}{8} \cdot \frac{{28}}{9} = \frac{{\mathop {\overline {21} }\limits^7 \cdot \mathop {\overline {28} }\limits^7 }}{{\mathop {\underline 8 }\limits_2 \cdot \mathop {\underline 9 }\limits_3 }} = \frac{{7 \cdot 7}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{49}}{6} = 8\frac{1}{6}.\]

    \[3)6\frac{2}{3} \cdot 2\frac{1}{{40}} = \frac{{20}}{3} \cdot \frac{{81}}{{40}} = \frac{{\mathop {\overline {20} }\limits^1 \cdot \mathop {\overline {81} }\limits^{27} }}{{\mathop {\underline 3 }\limits_1 \cdot \mathop {\underline {40} }\limits_2 }} = \frac{{1 \cdot 27}}{{1 \cdot 2}} = \frac{{27}}{2} = 13\frac{1}{2}.\]

Примеры умножения смешанного числа и обыкновенной дроби:

    \[1)5\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{{21}}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{{\mathop {\overline {21} }\limits^3 \cdot 3}}{{4 \cdot \mathop {\underline 7 }\limits_1 }} = \frac{{3 \cdot 3}}{{4 \cdot 1}} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4};\]

    \[2)\frac{7}{{20}} \cdot 1\frac{1}{{14}} = \frac{7}{{20}} \cdot \frac{{15}}{{14}} = \frac{{\mathop {\overline 7 }\limits^1 \cdot \mathop {\overline {15} }\limits^3 }}{{\mathop {\underline {20} }\limits_4 \cdot \mathop {\underline {14} }\limits_2 }} = \frac{{1 \cdot 3}}{{4 \cdot 2}} = \frac{3}{8}.\]

4. Умножение смешанного числа на натуральное число.

1) Чтобы смешанное число умножить на натуральное, можно смешанное число перевести в неправильную дробь и применить правило умножения дроби на натуральное число.

Примеры умножения смешанного числа на натуральное число по первому правилу:

    \[1)1\frac{3}{7} \cdot 6 = \frac{{10}}{7} \cdot 6 = \frac{{10 \cdot 6}}{7} = \frac{{60}}{7} = 8\frac{4}{7};\]

    \[2)9 \cdot 2\frac{1}{{15}} = 9 \cdot \frac{{31}}{{15}} = \frac{{\mathop {\overline 9 }\limits^3 \cdot 31}}{{\mathop {\underline {15} }\limits_5 }} = \frac{{3 \cdot 31}}{5} = \frac{{93}}{5} = 18\frac{3}{5}.\]

2) Чтобы умножить смешанное число на натуральное, можно отдельно умножить на это число целую часть, отдельно — дробную, и полученные произведения сложить.

Примеры умножения смешанного и натурального чисел по второму правилу:

    \[1)5\frac{7}{8} \cdot 16 = 5 \cdot 16 + \frac{7}{8} \cdot 16 = 80 + \frac{{7 \cdot \mathop {\overline {16} }\limits^2 }}{{\mathop {\underline 8 }\limits_1 }} = 80 + 14 = 94;\]

    \[2)2\frac{4}{{45}} \cdot 10 = 2 \cdot 10 + \frac{4}{{45}} \cdot 10 = 20 + \frac{{4 \cdot \mathop {\overline {10} }\limits^2 }}{{\mathop {\underline {45} }\limits_9 }} = 20 + \frac{8}{9} = 20\frac{8}{9}.\]

В следующий раз рассмотрим все правила, касающиеся умножения десятичных дробей.

Добавить комментарий