Деление дробей

Деление дробей — тема, которая включает в себя действия с обыкновенными дробями, смешанными числами и десятичными дробями.

Запишем на одной странице все правила, касающиеся деления обыкновенных дробей, смешанных чисел и натуральных чисел.

1. Деление обыкновенных дробей.

Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

(то есть первую дробь нужно переписать без изменений и умножить её на «перевёрнутую» вторую дробь).

    \[\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\]

При умножении дробей проще сокращать множители, чем результат.

Если в результате получается неправильная дробь, нужно выделить из неё целую часть.

Примеры деления обыкновенных дробей:

    \[1)\frac{3}{7}:\frac{5}{{11}} = \frac{3}{7} \cdot \frac{{11}}{5} = \frac{{3 \cdot 11}}{{7 \cdot 5}} = \frac{{33}}{{35}};\]

    \[2)\frac{8}{9}:\frac{{20}}{{27}} = \frac{8}{9} \cdot \frac{{27}}{{20}} = \frac{{\mathop {\overline 8 }\limits^2 \cdot \mathop {\overline {27} }\limits^3 }}{{\mathop {\underline 9 }\limits_1 \cdot \mathop {\underline {20} }\limits_5 }} = \frac{{2 \cdot 3}}{{1 \cdot 5}} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5};\]

    \[3)\frac{{30}}{{49}}:\frac{{40}}{{63}} = \frac{{30}}{{49}} \cdot \frac{{63}}{{40}} = \frac{{\mathop {\overline {30} }\limits^3 \cdot \mathop {\overline {63} }\limits^9 }}{{\mathop {\underline {49} }\limits_7 \cdot \mathop {\underline {40} }\limits_4 }} = \frac{{3 \cdot 9}}{{7 \cdot 4}} = \frac{{27}}{{28}}.\]

2. Деление обыкновенной дроби на натуральное число.

Применив правило деления обыкновенных дробей

    \[\frac{a}{b}:c = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{a}{{b \cdot c}},\]

приходим к выводу:

Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения.

Примеры деления обыкновенной дроби на число:

    \[1)\frac{2}{3}:5 = \frac{2}{{3 \cdot 5}} = \frac{2}{{15}};\]

    \[2)\frac{{24}}{{25}}:16 = \frac{{\mathop {\overline {24} }\limits^3 }}{{25 \cdot \mathop {\underline {16} }\limits_2 }} = \frac{3}{{25 \cdot 2}} = \frac{5}{{50}};\]

    \[3)\frac{{18}}{{37}}:9 = \frac{{\mathop {\overline {18} }\limits^2 }}{{37 \cdot \mathop {\underline 9 }\limits_1 }} = \frac{2}{{37 \cdot 1}} = \frac{2}{{37}}.\]

Заметим, что если числитель дроби делится на число без остатка, при делении можно числитель разделить на число, а знаменатель оставить тем же:

    \[\frac{a}{b}:c = \frac{{a:c}}{b}\]

    \[3)\frac{{18}}{{37}}:9 = \frac{{18:9}}{{37}} = \frac{2}{{37}}.\]

Стоит ли запоминать ещё одно правило или использовать одно правило для всех случаев — решать вам.

3. Деление натурального числа на дробь.

Применив правило деления обыкновенных дробей

    \[a:\frac{c}{d} = a \cdot \frac{d}{c} = \frac{{a \cdot d}}{c},\]

приходим к выводу:

чтобы разделить натуральное число на дробь, надо в числитель записать произведения этого числа и знаменателя, а в знаменатель записать числитель.

    \[a:\frac{c}{d} = \frac{{a \cdot d}}{c}\]

Можно запомнить это правило и применять его в дальнейшем. А можно делить число на дробь, применяя для всех случаев деления дробей одно правило. Выбирайте, что для вас удобнее.

Примеры деления натурального числа на дробь:

    \[1)36:\frac{4}{9} = 36 \cdot \frac{9}{4} = \frac{{\mathop {\overline {36} }\limits^9 \cdot 9}}{{\mathop {\underline 4 }\limits_1 }} = \frac{{9 \cdot 9}}{1} = 81;\]

    \[2)28:\frac{{21}}{{40}} = 28 \cdot \frac{{40}}{{21}} = \frac{{\mathop {\overline {28} }\limits^4 \cdot 40}}{{\mathop {\underline {21} }\limits_3 }} = \frac{{4 \cdot 40}}{3} = \frac{{160}}{3} = 53\frac{1}{3};\]

    \[3)11:\frac{{11}}{{15}} = 11 \cdot \frac{{15}}{{11}} = \frac{{\mathop {\overline {11} }\limits^1 \cdot 15}}{{\mathop {\underline {11} }\limits_1 }} = \frac{{1 \cdot 15}}{1} = 15.\]

Здесь можно сделать ещё один вывод:

    \[a:\frac{a}{b} = b\]

4. Деление смешанных чисел.

Чтобы разделить смешанные числа (смешанные дроби), надо превратить их в неправильные дроби и разделить по правилу деления обыкновенных дробей:

    \[a\frac{b}{c}:m\frac{n}{k} = \frac{{a \cdot c + b}}{c}:\frac{{m \cdot k + n}}{k} = \frac{{(a \cdot c + b) \cdot k}}{{c \cdot (m \cdot k + n)}}\]

(эту формулу запоминать не надо. Достаточно знать, как  переводить смешанные дроби в неправильные и делить обыкновенные дроби).

Примеры деления смешанных дробей:

    \[1)2\frac{3}{7}:3\frac{1}{{11}} = \frac{{17}}{7}:\frac{{34}}{{11}} = \frac{{17}}{7} \cdot \frac{{11}}{{34}} = \frac{{\mathop {\overline {17} }\limits^1 \cdot 11}}{{7 \cdot \mathop {\underline {34} }\limits_2 }} = \frac{{1 \cdot 11}}{{7 \cdot 2}} = \frac{{11}}{{14}};\]

    \[2)5\frac{2}{5}:1\frac{3}{{15}} = \frac{{27}}{5}:\frac{{18}}{{15}} = \frac{{27}}{5} \cdot \frac{{15}}{{18}} = \frac{{\mathop {\overline {27} }\limits^3 \cdot \mathop {\overline {15} }\limits^3 }}{{\mathop {\underline 5 }\limits_1 \cdot \mathop {\underline {18} }\limits_2 }} = \frac{{3 \cdot 3}}{{1 \cdot 2}} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2};\]

    \[3)6\frac{2}{3}:3\frac{1}{3} = \frac{{20}}{3}:\frac{{10}}{3} = \frac{{20}}{3} \cdot \frac{3}{{10}} = \frac{{\mathop {\overline {20} }\limits^2 \cdot \mathop {\overline 3 }\limits^1 }}{{\mathop {\underline 3 }\limits_1 \cdot \mathop {\underline {10} }\limits_1 }} = \frac{{2 \cdot 1}}{{1 \cdot 1}} = 2.\]

Примеры деления смешанного числа и обыкновенной дроби:

    \[1)2\frac{7}{9}:\frac{{10}}{{21}} = \frac{{25}}{9}:\frac{{10}}{{21}} = \frac{{25}}{9} \cdot \frac{{21}}{{10}} = \frac{{\mathop {\overline {25} }\limits^5 \cdot \mathop {\overline {21} }\limits^7 }}{{\mathop {\underline 9 }\limits_3 \cdot \mathop {\underline {10} }\limits_2 }} = \frac{{5 \cdot 7}}{{3 \cdot 2}} = \frac{{35}}{6} = 5\frac{5}{6};\]

    \[2)\frac{{12}}{{49}}:2\frac{5}{{14}} = \frac{{12}}{{49}}:\frac{{33}}{{14}} = \frac{{12}}{{49}} \cdot \frac{{14}}{{33}} = \frac{{\mathop {\overline {12} }\limits^4 \cdot \mathop {\overline {14} }\limits^2 }}{{\mathop {\underline {49} }\limits_7 \cdot \mathop {\underline {33} }\limits_{11} }} = \frac{{4 \cdot 2}}{{7 \cdot 11}} = \frac{8}{{77}}.\]

В следующий раз рассмотрим все правила, касающиеся деления десятичных дробей.

Добавить комментарий