Уравнения со смешанными дробями | Математика для школьников

Уравнения со смешанными дробями можно решать двумя способами. Рассмотрим каждый из них на примере.

Решить уравнение со смешанными дробями:

$1)5\frac{1}{2}x + 3\frac{5}{6} = 7\frac{3}{4}x + 2\frac{2}{3}$

1 способ: Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

$5\frac{1}{2}x - 7\frac{3}{4}x = 2\frac{2}{3} - 3\frac{5}{6}$

$5\frac{{{1^{\backslash 2}}}}{2}x - 7\frac{{{3^{\backslash 1}}}}{4}x = 2\frac{{{2^{\backslash 2}}}}{3} - 3\frac{{{5^{\backslash 1}}}}{6}$

$- 2\frac{{3 - 2}}{4}x = - 1\frac{{5 - 4}}{6}$

$- 2\frac{1}{4}x = - 1\frac{1}{6}$

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

$x = - 1\frac{1}{6}:( - 2\frac{1}{4})$

$x = \frac{{7 \cdot \mathop 4\limits^2 }}{{\mathop 6\limits_3 \cdot 9}}$

$x = \frac{{14}}{{27}}$

2способ:

Смешанные числа переведем в неправильные дроби:

$5\frac{1}{2}x + 3\frac{5}{6} = 7\frac{3}{4}x + 2\frac{2}{3}$

$\frac{{11}}{2}x + \frac{{23}}{6} = \frac{{31}}{4}x + \frac{8}{3}$

Теперь обе части уравнения умножаем на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей:

$\frac{{{{11}^{\backslash 6}}}}{2}x + \frac{{{{23}^{\backslash 2}}}}{6} = \frac{{{{31}^{\backslash 3}}}}{4}x + \frac{{{8^{\backslash 4}}}}{3}\_\_\_\left| { \cdot 12} \right.$

Таким образом, уравнение со смешанными дробями заменили на уравнение с целыми числами:

$66x + 46 = 93x + 32$

Это — линейные уравнения. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

$66x - 93x = 32 - 46$

$- 27x = - 14$

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

$x = - 14:( - 27)$

Ответ записываем в виде обыкновенной дроби:

$x = \frac{{14}}{{27}}$

Ответ: 14/27.

Решать уравнения со смешанными числами можно обоими способами. На мой взгляд, второй способ удобнее. Еще два уравнения со смешанными дробями, решенные с помощью умножения на наименьший общий знаменатель.

$2)7\frac{1}{2}x + 4\frac{1}{3} = 3\frac{1}{9} + 5\frac{5}{6}x$

Переводим смешанные числа в неправильные дроби:

$\frac{{15}}{2}x + \frac{{13}}{3} = \frac{{28}}{9} + \frac{{35}}{6}x$

Обе части уравнения умножаем на наименьший общий знаменатель всех дробей:

$\frac{{{{15}^{\backslash 9}}}}{2}x + \frac{{{{13}^{\backslash 6}}}}{3} = \frac{{{{28}^{\backslash 2}}}}{9} + \frac{{{{35}^{\backslash 3}}}}{6}x\_\_\_\left| { \cdot 18} \right.$

От уравнения со смешанными числами переходим к уравнению с целыми числами:

$\begin{array}{l}135x + 78 = 56 + 105x\\\end{array}$

неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные — в другую, изменяя при переносе знаки:

$135x - 105x = 56 - 78$

$30x = - 22$

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

$x = - 22:30$

$x = - \frac{{22}}{{30}}$

Сокращаем дробь на 2:

$x = - \frac{{11}}{{15}}$

Ответ: -11/15.

$3)4\frac{2}{5}x - 1\frac{1}{6} = 3\frac{7}{{15}}x - 2\frac{1}{{10}}$

$\frac{{{{22}^{\backslash 6}}}}{5}x - \frac{{{7^{\backslash 5}}}}{6} = \frac{{{{52}^{\backslash 2}}}}{{15}}x - \frac{{{{21}^{\backslash 3}}}}{{10}}\_\_\_\left| { \cdot 30} \right.$

$132x - 35 = 104x - 63$

$132x - 104x = - 63 + 35$

$28x = - 28$

$x = - 1$

Ответ: -1.

Оставьте комментарий Отменить ответ