Уравнения с дробями

89 комментариев / От /

Линейные уравнения с дробями в 6 классе можно решать по обычной схеме: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знак. Другой путь — предварительно упростить уравнение, превратив его из линейного уравнения с дробями в линейное уравнение с целыми числами. 

Сначала на примере одного линейного уравнения с дробями рассмотрим оба способа решения.

    \[1)\frac{3}{8}x - \frac{5}{6} = \frac{7}{{12}}x - \frac{2}{3}\]

1 способ: Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    \[\frac{3}{8}x - \frac{7}{{12}}x = - \frac{2}{3} + \frac{5}{6}\]

Приводим к общему знаменателю дроби в каждой части уравнения:

    \[\frac{{{3^{\backslash 3}}}}{8}x - \frac{{{7^{\backslash 2}}}}{{12}}x = - \frac{{{2^{\backslash 2}}}}{3} + \frac{{{5^{\backslash 1}}}}{6}\]

    \[\frac{{9 - 14}}{{24}}x = \frac{{ - 4 + 5}}{6}\]

    \[ - \frac{5}{{24}}x = \frac{1}{6}\]

Это — простейшее линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    \[x = \frac{1}{6}:( - \frac{5}{{24}})\]

При делении чисел с разными знаками получаем отрицательное число. По правилу деления дробей:

    \[x = - \frac{{1 \cdot \mathop {24}\limits^4 }}{{\mathop 6\limits_1 \cdot 5}}\]

После сокращения имеем:

    \[x = - \frac{4}{5}\]

(В данном случае ответ можно записать и в виде десятичной дроби: х=-0,8).

2 способ:

    \[\frac{3}{8}x - \frac{5}{6} = \frac{7}{{12}}x - \frac{2}{3}\]

Обе части уравнения умножим почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей, в данном случае он равен 24:

    \[\frac{{{3^{\backslash 3}}}}{8}x - \frac{{{5^{\backslash 4}}}}{6} = \frac{{{7^{\backslash 2}}}}{{12}}x - \frac{{{2^{\backslash 8}}}}{3}\_\_\_\left| { \cdot 24} \right.\]

При умножении на знаменатель дроби сокращаются, в знаменателе остается единица, которую не пишем. От  линейного уравнения с дробями перешли к линейному уравнению с целыми числами:

    \[9x - 20 = 14x - 16\]

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

    \[9x - 14x = - 16 + 20\]

    \[ - 5x = 4\]

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    \[x = - \frac{4}{5}\]

Ответ: -4/5.

Как видите, второй способ существенно упрощает решение линейного уравнения с дробями.

 

    \[2)\frac{7}{{20}}x + \frac{5}{{12}} = \frac{2}{3} - \frac{1}{5}x\]

Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей. Здесь он равен 60:

    \[2)\frac{{{7^{\backslash 3}}}}{{20}}x + \frac{{{5^{\backslash 5}}}}{{12}} = \frac{{{2^{\backslash 20}}}}{3} - \frac{{{1^{\backslash 12}}}}{5}x\_\_\_\left| { \cdot 60} \right.\]

    \[21x + 25 = 40 - 12x\]

Вместо линейного уравнения с дробями получили линейное уравнение с целыми числами. Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    \[21x + 12x = 40 - 25\]

    \[33x = 15\]

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    \[x = \frac{{15}}{{33}}\]

Сокращаем дробь на 3:

    \[x = \frac{5}{{11}}\]

Ответ: 5/11.

    \[3)\frac{4}{{15}} + \frac{2}{3}x = x - \frac{7}{{10}}\]

Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей:

    \[\frac{{{4^{\backslash 2}}}}{{15}} + \frac{{{2^{\backslash 10}}}}{3}x = {x^{\backslash 30}} - \frac{{{7^{\backslash 3}}}}{{10}}\_\_\_\left| { \cdot 30} \right.\]

В результате линейное уравнение с дробями заменили на линейное уравнение с целыми числами:

    \[8 + 20x = 30x - 21\]

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    \[20x - 30x = - 21 - 8\]

    \[ - 10x = - 29\]

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    \[x = - 29:( - 10)\]

    \[x = 2,9\]

Ответ: 2,9.

В следующий раз рассмотрим линейные уравнения с смешанными дробями.

89 комментариев к “Уравнения с дробями”

    1. Светлана Иванова

      Настя, это уже дробно-рациональное уравнение. Нужно привести дроби к наименьшему общему знаменателю и к уравнению типа «дробь равна нулю».

      Ответить
  6. Хамза

    Здравствуйте! Помогите решить уравнение. 1/3x+1/x=4/15; для 5 класса. Спасибо!

    Ответить
    1. Светлана Иванова

      Хамза, меня смущает x в знаменателе. Переменная в знаменателе дроби появляется только в курсе алгебры. В 5 классе можно разве только угадать корень х=5.

      Ответить
      1. Тима

        Здесь нет корня, т.к. Уравнение не является квадратным. Ответ х=5 получается в результате вычислений по правилам простых линейных уравнений с дробями

        Ответить
        1. Светлана Иванова

          Уважаемый Тима! Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. В данном случае имеется в виду именно корень уравнения, а не корень квадратный из числа или корень растения.

          Ответить
    1. Светлана Иванова

      1 4/9:4 1/3=1/3. Таким образом, 2:(3/8x)=1/3 и 3/8x=2:1/3; 3/8x=6; 8х=3:6; 8х=1/2; х=1/2:8; х=1/16.

      Ответить
    1. Светлана Иванова

      Выражение 3|2х + 1|- неизвестное вычитаемое. Соответственно, 3|2х + 1|=11 — 5; 3|2х + 1|=6. Разделив обе части на 3, получаем |2х + 1|=2, из которого следуют два уравнения: 2х+1=2 или 2х+1=-2. Их корни — х=0,5 и х=-1,5.

      Ответить
    1. Светлана Иванова

      5/x=10-2; 5/x=8. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное:x=5/8.

      Ответить
    1. Светлана Иванова

      Выражение, стоящее под знаком модуля, приравниваем к нулю: 2х+1=0, х=-0,5. Точка х=-0,5 разбивает числовую прямую на два промежутка, в каждом из которых знак модуля можно снять. При х<-0,5 2х+1<0, модуль раскрываем со знаком "минус". Получаем уравнение -(2х+1)6х+2=х. Решаем полученное квадратное уравнение. Из полученных корней выбираем тот, который удовлетворяет условию х<-0,5. При х≥-0,5 модуль раскрываем со знаком "+". Получаем уравнение (2х+1)6х+2=х. Решаем его. Если корни есть, выбираем корень, удовлетворяющий условию х≥-0,5 (похоже, в условие вкралась ошибка, потому что 1 перед модулем не пишут).

      Ответить
  16. Коля

    Помогите решить такое уравнение 1 1/9:x=2 2/3:3 3/5. Я решил так 10/9:x=8/3:18/5 => 10/9:x=20/27 => x=10/9:20/27 => x=3/2=1 1/2. Но в ГДЗ решение начинается так x=10/9*8/3:18/5 ,почему так не пойму и решить не получается.

    Ответить
    1. Светлана Иванова

      Коля, Ваше уравнение — пропорция. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:

          \[x = 1\frac{1}{9} \cdot 3\frac{3}{5}:2\frac{2}{3}\]

          \[x = \frac{{10 \cdot 18 \cdot 3}}{{9 \cdot 5 \cdot 8}}\]

      откуда х=1 1/2.

      Ответить
    1. Светлана Иванова

      1)y=11/4:7/8; y=11/4∙8/7; y=22/7; y=3 1/7.
      2)Здесь проще деление на 3/7 заменить умножением на 7/3:
      (3/14+5/21x)∙7/3=31/4; 3/14∙7/3+(5/21∙7/3)x=31/4; 1/2+5/9х=31/4; 5/9х=31/4-1/2; 5/9х=29/4; х=29/4:5/9; х=13 1/20.

      Ответить
    1. Светлана Иванова

      a=11/18-7/12. Затем приводим дроби к общему знаменателю a=22/36-21/36; a=1/36.

      Ответить
  19. Ольга

    Здравствуйте. У меня что-то простое, но не могу сообразить. Помогите об’яснить ребенку. 3/х=7/18. Спасибо.

    Ответить
    1. Светлана Иванова

      Ольга, проще всего решить это уравнение как пропорцию.

          \[\frac{3}{x} = \frac{7}{{18}}\]

      Чтобы найти неизвестный средний член пропорции x, произведение крайних членов делим на известный средний член:

          \[x = \frac{{3 \cdot 18}}{7};x = \frac{{54}}{7};x = 7\frac{5}{7}.\]

      Ответить
    1. Светлана Иванова

      Перед скобками стоит знак «-«, знаки в скобках меняем на противоположные:

          \[{\rm{5x - }}\frac{1}{2}x{\rm{ - 9 = 18}}\]

      Упрощаем:

          \[{\rm{4}}\frac{1}{2}x = 18 + 9\]

          \[x = 27:\frac{9}{2}\]

          \[x = \frac{{27 \cdot 2}}{9};x = 6.\]

      Ответить
        1. Светлана Иванова

          Ищем неизвестное уменьшаемое. Для этого к разности прибавляем вычитаемое: x×700=289000+460; x×700=289460. Ищем неизвестный множитель. Для этого произведение делим на известный множитель: x=289460:700. Только нацело не делится, ответ записываем в виде обыкновенной дроби:x=289460/700; x=413 360/700.

          Ответить
  23. Ника

    Класс вы не знаете,как вы мне помагли. У меня завтра МЦКО очень помагла спасибо большое

    Ответить
  24. Светлана

    Здравствуйте.Помогите решить уравнение.1/х2+1/(х+1) 2 (2 это в квадрате)=10/9.

    Ответить
    1. Светлана Иванова

      Если решать это дробно-рациональное уравнение по обычной схеме — привести дроби к наименьшему общему знаменателю и затем к уравнению типа «дробь равна нулю», выражение в числителе не вдохновляет на дальнейшее движение в этом направлении. Использовать монотонность здесь не получится. Можно попробовать ввести замену k=x+1/2. Тогда

          \[\frac{1}{{{{(k - \frac{1}{2})}^2}}} + \frac{1}{{{{(k + \frac{1}{2})}^2}}} = \frac{{10}}{9}\]

          \[\frac{{{k^2} + \frac{1}{4}}}{{{{({k^2} - \frac{1}{4})}^2}}} = \frac{5}{9}\]

          \[5{k^4} - \frac{{23{k^2}}}{2} - \frac{{31}}{{16}} = 0\]

      Замена k²=z, z>0. Тогда

          \[{z_1} = \frac{{23 + 6\sqrt {19} }}{{20}},{z_2} = \frac{{23 - 6\sqrt {19} }}{{20}}.\]

      Второй корень не удовлетворяет условию на z.Обратная замена

          \[{k^2} = \frac{{23 + 6\sqrt {19} }}{{20}}, \Rightarrow k = \pm \sqrt {\frac{{23 + 6\sqrt {19} }}{{20}}} ,\]

          \[x + \frac{1}{2} = \pm \sqrt {\frac{{23 + 6\sqrt {19} }}{{20}}} ,\]

          \[{x_1} = \sqrt {\frac{{23 + 6\sqrt {19} }}{{20}}} - \frac{1}{2};{x_2} = - \sqrt {\frac{{23 + 6\sqrt {19} }}{{20}}} - \frac{1}{2}.\]

      Где-то так.

      Ответить
    1. Светлана Иванова

      Коэффициент перед х равен 1. Таким образом, х-5/8х=(1-5/8)х=3/8х.Отсюда 3/8х=2, х=2:3/8, х=2∙8/3, х=16/3. Можно было первым делом избавиться от знаменателя, умножив обе части уравнения на 8. Получили бы 8х-5х=16,3х=16, х=16/3.

      Ответить
    1. Светлана Иванова

      Если х — множитель, то есть

          \[\frac{2}{5}x = 10,\]

      надо произведение разделить на известный множитель:

          \[x = 10:\frac{2}{5}\]

          \[x = 10 \cdot \frac{5}{2}\]

      Если хотите, можете записать 10 в виде дроби. Но это не обязательно.

          \[x = \frac{{\mathop {\overline {10} }\limits^5 \cdot 5}}{{\mathop {\underline 2 }\limits_1 }};x = 25\]

      Ответить
  27. olga

    здравствуйте.подскажите пож. как решать такие уравнения 7/8y=1 1/4
    заранее спасиюо

    Ответить
    1. Светлана Иванова

      у — неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: у=1 1/4 : 7/8.

      Ответить
    1. Светлана Михайловна

          \[7\frac{2}{9} - x = \frac{1}{6}\]

      Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность:

          \[x = 7\frac{{{2^{\backslash 2}}}}{9} - \frac{{{1^{\backslash 3}}}}{6}\]

          \[x = 7\frac{1}{{18}}.\]

      Всё. Как видите, это не больно и не страшно.

      Ответить
  29. Miner

    Помогите пожалуйста срочно надо
    2/5*(5/6+3/4х)=9 1/3-1/5-х
    ЗАРАНИЕ СПАСИБО БОЛЬШОЕ

    Ответить
    1. Светлана Михайловна

      Это уравнение — дробно-рациональное. Перенесите все слагаемые в левую часть и приведите дроби к общему знаменателю. Получится уравнение вида «дробь равна нулю».

      Ответить
    1. Светлана Михайловна

          \[15\frac{3}{8}:(2\frac{3}{4}x + 5\frac{5}{6}) - 1\frac{1}{2} = \frac{3}{4}\]

          \[5\frac{3}{8}:(2\frac{3}{4}x + 5\frac{5}{6}) = \frac{{{3^{\backslash 1}}}}{4} + 1\frac{{{1^{\backslash 2}}}}{2}\]

          \[5\frac{3}{8}:(2\frac{3}{4}x + 5\frac{5}{6}) = 2\frac{1}{4}\]

          \[2\frac{3}{4}x + 5\frac{5}{6} = 5\frac{3}{8}:2\frac{1}{4}\]

          \[2\frac{3}{4}x + 5\frac{5}{6} = \frac{{43 \cdot \mathop {\overline 4 }\limits^1 }}{{\mathop {\underline 8 }\limits_2 \cdot 9}}\]

      Теперь есть смысл все смешанные числа перевести в неправильные дроби (но это не обязательно).

          \[\frac{{{{11}^{\backslash 9}}}}{4}x + \frac{{{{35}^{\backslash 6}}}}{6} = \frac{{{{43}^{\backslash 2}}}}{{18}}\_\_\_\left| { \cdot 36} \right.\]

          \[99x + 210 = 86\]

          \[99x = - 124\]

          \[x = - \frac{{124}}{{99}}\]

          \[x = - 1\frac{{25}}{{99}}.\]

      Ответить
  32. Ви

    А как решить такое уравнение на множество R
    — 5 четвёртых x во второй степени =x во второй степени

    Ответить
    1. Светлана Михайловна

      Ви, наберите в поисковике «Неполные квадратные уравнения».

      Ответить
    1. Светлана Михайловна

      Можно применить основное свойство пропорции. Можно рассуждать так: дроби равны, числители дробей равны, значит, знаменатели также равны: 2x-1=3(х+3/4) и решаем полученное линейное уравнение. При этом не забываем, что дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля. Поэтому либо в начале находим область допустимых значений, либо в конце выполняем проверку.

      Ответить
    1. Светлана Михайловна

      Я бы умножила обе части уравнения на 30:

          \[ {\rm{(}}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}a - 0,7):1,5 + 0,5 = \frac{{29}}{{30}}\_\_\_\left| { \cdot 30} \right. \]

          \[{\rm{(}}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}a - 0,7) \cdot 30:1,5 + 0,5 \cdot 30 = 29 \]

          \[{\rm{(}}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}a - 0,7) \cdot 20 = 29 - 15 \]

          \[\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}a - 0,7 = \frac{{14}}{{20}}\]

          \[ \frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}a = 1,4 \]

          \[ a = 2,1. \]

      Ответить
    1. Светлана Михайловна

      Насколько я поняла, имеется в виду 1 целая семь восемнадцатых, а не одна целая семь десятых разделить на восемнадцать.

      Ответить
    1. Светлана Михайловна

      Если 2-x — знаменатель, то это дробно-рациональное уравнение. Следует привести все слагаемые к общему знаменателю и привести уравнение к виду «дробь равна нулю».

      Ответить
  42. Ангелина

    извиняюсь (2/9X + 1/8X)*72=225
    не знаем как решить, ответ x=9.
    Сама логика решения не ясна совершенно(

    Ответить
    1. Светлана Михайловна

      Амир, не совсем понятно условие. Если так

          \[ \frac{8}{{3x}} + 15 = \frac{6}{x} + 10, \]

      то

          \[ \frac{8}{{3x}} - \frac{{6^{\backslash 3} }}{x} = 10 - 15 \]

          \[ \frac{{8 - 18}}{{3x}} = - 5 \]

          \[ \frac{{ - 10}}{{3x}} = - 5 \]

          \[ 3x = - 10:( - 5) \]

          \[ 3x = 2 \]

          \[ x = \frac{2}{3}. \]

      Ответить
    1. Светлана Михайловна

      x+2/9=x-3/2
      x-x=-3/2-2/9
      0x=-3/2-2/9
      Нет решений. Какое бы число мы не подставили вместо x , в левой части получится 0, а в правой — отрицательное число. Нет значения переменной, при котором это равенство было бы верным.

      Ответить

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Прокрутить вверх