Произведение равно нулю

В каком случае произведение равно нулю?

3∙5≠0; -7∙10≠0; -7∙(-9)≠0;

0∙10=0; -12∙0=0; 0∙0=0.

Таким образом,

произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

С помощью этого правила решают уравнения, в которых произведение нескольких множителей равно нулю. Уравнения вида «Произведение равно нулю» — одни из самых распространенных в математике. Их начинают изучать с 6 класса. В 6 классе множители представляют собой линейные уравнения.

Примеры.

    \[1)5x \cdot (2x - 7) \cdot (3x + 18) = 0\]

Это уравнение вида «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому приравниваем к нулю каждый из множителей:

5x=0     или     2x-7=0      или     3x+18=0.

Теперь решаем каждое из уравнений. Первое — простейшее линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

5x=0  I:5

x=0

Второе и третье — линейные уравнения. Алгоритм решения: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

2x=7   I :2               3x=-18    I :3

x=3,5                        x=-6

Ответ: 0; 3,5; -6.

Замечания.

1) Это уравнение также можно рассмотреть как произведение четырех множителей:

    \[5 \cdot x \cdot (2x - 7) \cdot (3x + 18) = 0\]

Рассуждаем так: поскольку произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а первый множитель 5≠0, приравниваем к нулю остальные множители:

x=0     или     2x-7=0        или     3x+18=0.

2) Поскольку перед буквой и перед скобками знак умножения можно не писать, условие уравнений обычно выглядят так:

5x(2x-7)(3x+18)=0.

    \[2)(6x - 7)(5x + 9)(4x + 11)(9x - 6) = 0.\]

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

6x-7=o или 5x+9=0 или 4x+11=0 или 9x-6=0

6x=7  I:6      5x=-9  I:5       4x=-11  I:4    9x=6  I:9

x=7/6            x=-9/5            x=-11/4       x=6/9

В первом уравнении получили неправильную дробь. Выделяем из нее целую часть. Во втором и третьем уравнении ответ записываем в виде десятичной дроби. Для этого делим числитель на знаменатель уголком. В четвертом уравнении нужно сократить дробь в ответе

    \[\underline {x = 1\frac{1}{6}} ;\underline {x =  - 1,4} ;\underline {x =  - 2,75} ;\underline {x = \frac{2}{3}} .\]

    \[Ombem:1\frac{1}{6}; - 1,4; - 2,75;\frac{2}{3}.\]

А как узнать, записать ответ в виде обыкновенной или в виде десятичной дроби? Любую ли обыкновенную дробь можно перевести в десятичную? Любую ли десятичную дробь можно перевести в обыкновенную? Об этом мы поговорим в следующий раз.

 

 

 

 

2 Comments

  1. qq 08.04.2016 23:15 Ответить

    определение наверху неверное, т.к. произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда когда хотя-бы один из них равен нулю, а остальные не теряют смысла.

    • Светлана Иванова 16.04.2016 09:34 Ответить

      Мне понравился ход мысли Вашего учителя математики. Она расширила определение, чтобы ученики не забывали проверить, входят ли найденные корни в область допустимых значений уравнения (или неравенства).

Добавить комментарий