Куб дроби | Математика для школьников

Как выполнить возведение дроби в куб? Как возвести в куб смешанное число?

Чтобы найти куб дроби, надо вычислить произведение трёх множителей, каждый из которых равен этой дроби:

${(\frac{a}{b})^3} = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b}$

Примеры.

${(\frac{1}{7})^3} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{{343}};$

${(\frac{2}{9})^3} = \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{9} = \frac{8}{{729}};$

${(\frac{3}{8})^3} = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{{27}}{{512}};$

${(\frac{4}{{11}})^3} = \frac{4}{{11}} \cdot \frac{4}{{11}} \cdot \frac{4}{{11}} = \frac{{64}}{{1331}}.$

Другой способ найти дробь в кубе — возвести в куб отдельно числитель, отдельно — знаменатель:

${(\frac{a}{b})^3} = \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}}$

Примеры.

${(\frac{1}{{15}})^3} = \frac{{{1^3}}}{{{{15}^3}}} = \frac{1}{{3375}};$

${(\frac{2}{3})^3} = \frac{{{2^3}}}{{{3^3}}} = \frac{8}{{27}};$

${(\frac{5}{{12}})^3} = \frac{{{5^3}}}{{{{12}^3}}} = \frac{{125}}{{1728}};$

${(\frac{7}{{20}})^3} = \frac{{{7^3}}}{{{{20}^3}}} = \frac{{343}}{{8000}}.$

Чтобы найти куб смешанного числа (смешанной дроби), надо сначала перевести его в неправильную дробь, возвести её в куб, а затем из полученной неправильной дроби выделить целую часть.

Примеры.

${(1\frac{1}{9})^3} = {(\frac{{10}}{9})^3} = \frac{{10}}{9} \cdot \frac{{10}}{9} \cdot \frac{{10}}{9} = \frac{{1000}}{{729}} = 1\frac{{271}}{{729}};$

${(1\frac{3}{4})^3} = {(\frac{7}{4})^3} = \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4} = \frac{{343}}{{64}} = 5\frac{{23}}{{64}};$

${(2\frac{6}{7})^3} = \frac{{20}}{7} \cdot \frac{{20}}{7} \cdot \frac{{20}}{7} = \frac{{8000}}{{343}} = 23\frac{{111}}{{343}};$

${(4\frac{2}{3})^3} = {(\frac{{14}}{3})^3} = \frac{{14}}{3} \cdot \frac{{14}}{3} \cdot \frac{{14}}{3} = \frac{{{\rm{2744}}}}{{27}} = 101\frac{{17}}{{27}}.$

При возведении в куб десятичной дроби находим произведение трёх множителей, каждый из которых равен этой дроби.

Поскольку при умножении десятичных дробей сначала умножаем числа, не обращая внимания на запятую, а затем отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятой во всех множителях вместе, то куб десятичной дроби с одной цифрой после запятой содержит три цифры после запятой, куб дроби с двумя цифрами после запятой — шесть цифр после запятой, куб дроби с тремя цифрами после запятой — девять цифр после запятой и т.д.

Примеры.

${(0,2)^3} = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008;$