Уравнения с модулем в 6 классе

Уравнения с модулем в 6 классе сводятся к простейшим уравнениям, решение которых опирается на определение модуля. Рассмотрим некоторые из таких уравнений.

Начнем с такого вида:

    \[a\left| x \right| + b = c\]

Решаем это уравнение как линейное: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    \[a\left| x \right| = c - b\]

Теперь обе части уравнения делим на число, стоящее перед модулем икса:

    \[\left| x \right| = \frac{{c - b}}{a}\]

Получили простейшее уравнение с модулем.

Примеры:

    \[1)5\left| x \right| + 7 = 52\]

    \[5\left| x \right| = 52 - 7\]

    \[5\left| x \right| = 45\_\_\_\_\left| {:5} \right.\]

    \[\left| x \right| = 9, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9;\\x =  - 9.\end{array} \right.\]

Ответ: 9;-9.

    \[2)9\left| x \right| - 2 = 34\]

    \[9\left| x \right| = 34 + 2\]

    \[9\left| x \right| = 36\_\_\_\_\left| {:9} \right.\]

    \[\left| x \right| = 4, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4;\\ x =  - 4. \end{array} \right.\]

Ответ: 4; -4.

    \[3)7\left| x \right| + 11 = 2\]

    \[7\left| x \right| = 2 - 11\]

    \[7\left| x \right| =  - 9\_\_\_\_\left| {:7} \right.\]

    \[\left| x \right| =  - \frac{7}{9}\]

Данное уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным числом.

Ответ: нет решений.

Также в 6 классе встречаются уравнения с модулем вида

    \[\left| {ax + b} \right| = c\]

Это уравнение — почти простейшее уравнение с модулем, соответственно, решаем его аналогично:

    \[npu\_c > 0\_\left| {ax + b} \right| = c, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} ax + b = c;\\ ax + b =  - c. \end{array} \right.\]

 

    \[npu\_c = 0\_\left| {ax + b} \right| = 0, \Rightarrow ax + b = 0.\]

    \[npu\_ - c < 0\_\left| {ax + b} \right| =  - c, \Rightarrow \emptyset .\]

Примеры:

    \[1)\left| {5x - 3} \right| = 7, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x - 3 = 7;\\ 5x - 3 =  - 7; \end{array} \right.\]

Каждое из полученных уравнений — линейное. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 5x = 7 + 3;\\ 5x =  - 7 + 3; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} 5x = 10\_\_\left| {:5} \right.\\ 5x =  - 4\_\_\left| {:5} \right. \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = 2;\\ x =  - 0,8. \end{array} \right.\]

Ответ:2; -0,8.

    \[2)\left| {12 - 4x} \right| = 0, \Rightarrow 12 - 4x = 0\]

    \[ - 4x =  - 12\_\_\left| {:( - 4)} \right.\]

    \[x = 3\]

Ответ:3.

    \[3)\left| {9x - 17} \right| =  - 21, \Rightarrow \emptyset .\]

Более сложные уравнения с модулем в 6 классе представляют собой сочетание обоих видов.

Примеры:

    \[1)\left| {7x - 5} \right| + 3 = 12\]

Сначала рассмотрим это уравнение как линейное (все выражение, стоящее под знаком модуля, считаем одним неизвестным):

    \[\left| {7x - 5} \right| = 12 - 3\]

    \[\left| {7x - 5} \right| = 9\]

Данное уравнение решим как простейшее уравнение с модулем:

    \[\left| {7x - 5} \right| = 9, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7x - 5 = 9;\\ 7x - 5 =  - 9; \end{array} \right.\]

 

    \[\left\{ \begin{array}{l} 7x = 9 + 5;\\ 7x =  - 9 + 5; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} 7x = 14\_\_\left| {:7} \right.\\ 7x =  - 4\_\_\left| {:7} \right. \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = 2;\\ x =  - \frac{4}{7} \end{array} \right.\]

Ответ: 2; -4/7.

    \[2)27 - 5\left| {2x + 1} \right| =  - 3\]

    \[ - 5\left| {2x + 1} \right| =  - 3 - 27\]

    \[ - 5\left| {2x + 1} \right| =  - 30\_\_\left| {:( - 5)} \right.\]

    \[\left| {2x + 1} \right| = 6, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + 1 = 6;\\ 2x + 1 =  - 6; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2x = 6 - 1;\\ 2x =  - 6 - 1; \end{array} \right.\]

 

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2x = 5\_\_\left| {:2} \right.\\ 2x =  - 7\_\_\left| {:2} \right. \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = 2,5;\\ x =  - 3,5. \end{array} \right.\]

Ответ: 2,5; -3,5.

31 Comments

  1. vlada 01.02.2015 15:39 Ответить

    я ещё не разу не пользовалась этим сайтом

  2. ТуРуС 31.10.2015 19:46 Ответить

    Очень хороший сайт… реально помог

  3. Vika Pilipchuk 04.02.2016 12:48 Ответить

    Помогите решить,пожалуйста, -|х|=3

    • Светлана Иванова 16.02.2016 10:24 Ответить

      -|х|=3
      |х|=-3
      Нет решений, так как модуль не может быть отрицательным числом.

  4. Екатерина 04.09.2016 16:55 Ответить

    Помогите решить, пожалуйста: |х|-2= -3

    • Светлана Иванова 04.09.2016 18:24 Ответить

      |х|= -3 + 2; |х|= -1. Нет решений, так как модуль не может быть равным отрицательному числу.

  5. Любовь 19.10.2016 12:42 Ответить

    Будьте добры, объясните решение примера с модулем в модуле:
    |-|3-х^2||=6

    PS. х в квадрате.

    • Светлана Иванова 26.10.2016 22:52 Ответить

      |-|3-х²||=6; |3-х²|=6; 3-х²=±6; 3-х²=6 или 3-х²=-6; х²=-3 или х²=9. Первое из уравнений не имеет корней, корни второго — x=3 и x=-3.
      Но это не 6-й класс).

  6. Татьяна 21.10.2016 17:58 Ответить

    Помогите решить уравнение пожалуйста 3|x+4|-7=18

    • Светлана Иванова 26.10.2016 22:36 Ответить

      3|x+4|=18+7; 3|x+4|=25; |x+4|=25/3; x+4=±8 1/3
      x+4=8 1/3 или x+4=-8 1/3; x=8 1/3-4 или x=-8 1/3-4; x=4 1/3 или x=-12 1/3.

  7. влад 20.04.2017 16:27 Ответить

    помогите решить задачи модуль х=1 модуль выражения х-3=1 модуль х=х

    • Светлана Иванова 21.04.2017 09:21 Ответить

      Если |х|=1, то х=1 или х=-1.
      Если |х-3|=1, то х-3=1 или х-3=-1, откуда х=4 или х=2.
      Если |х|=х, то х — любое неотрицательное число, то есть х≥0.

  8. Бексултан 05.05.2017 17:52 Ответить

    Спасибо вам очень сильно помогло.Вседа были проблемы, а сейчас нету

    • Светлана Иванова 11.05.2017 21:39 Ответить

      Бексултан, если все новые темы разбирать по мере изучения, проблем не будет. Учитесь, и всё у Вас получится!

  9. Марина 11.05.2017 18:43 Ответить

    Помогите, пожалуйста, (3+|x|)(4-2|x|)=0

    • Светлана Иванова 11.05.2017 21:34 Ответить

      Это уравнение типа произведение равно нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый их множителей:3+|x|=0 или 4-2|x|=0. Отсюда |x|=-3 или 2|x|=4, |x|=2. Уравнение |x|=-3 не имеет корней, уравнение |x|=2 имеет два корня: х=2 и х=-2.

  10. Galina 12.05.2017 18:53 Ответить

    Помогите пожалуйста решить:
    |-0,63|:|x|=|-0,91|

    • Светлана Иванова 13.05.2017 23:34 Ответить

      0,63:|x|=0,91; |x|=0,63:0,91; |x|=9/13: х=9/13 или х= -9/13.

  11. Марина 13.05.2017 10:34 Ответить

    Помогите ещё, пожалуйста,вот это |5х+2|-11=21

    • Светлана Иванова 13.05.2017 23:18 Ответить

      |5х+2|=21+11; |5х+2|=32; 5х+2=32 или 5х+2=-32; 5х=30, х=6 или 5х=-34, х=-6,8.

  12. Galina 15.05.2017 13:22 Ответить

    Спасибо большое.

  13. Nastasia 04.06.2017 20:04 Ответить

    Помогите решить пожалуйста:
    А= 12+ |х-3|
    ——— (это черта деления дроб.)
    |-2|

    • Светлана Иванова 04.06.2017 20:13 Ответить

      А что, собственно, требуется найти?

      • Nastasia 04.06.2017 20:19 Ответить

        Найти чему равно А , а то есть решить уравнение

        • Светлана Иванова 04.06.2017 20:41 Ответить

          Получается, что у Вас в одном уравнении две переменные ещё и х. Нужно либо еще одно уравнение, либо Вы что-то в условии напутали.

          • Nastasia 04.06.2017 20:43

            Это пример, который дан в тесте

          • Светлана Иванова 04.06.2017 21:05

            Что-то не то с условием. Может, пришлёте фото задания?

  14. То 06.06.2017 06:21 Ответить

    X×|x|=-4x please

    • Светлана Иванова 06.06.2017 08:59 Ответить

      1)Если х≥0, то |х|=х и уравнение принимает вид х²=-4х, корни которого равны 0 и -4. Условию х≥0 удовлетворяет только х=0.
      2) если х<0, |х|=-х и -х²=-4х, корни х=0 и х=4. Условию х<0 корни не удовлетворяют.
      Ответ: 0.

  15. No Name 20.10.2017 07:03 Ответить

    -|x|+7=10
    Как решить?

    • Светлана Михайловна 24.10.2017 21:22 Ответить

      -|x|=10-7
      -|x|=3
      |x|=-3. Уравнение не имеет корней, так как модуль не может равняться отрицательному числу.

Добавить комментарий