Уравнения с модулем в 6 классе

Уравнения с модулем в 6 классе сводятся к простейшим уравнениям, решение которых опирается на определение модуля. Рассмотрим некоторые из таких уравнений.

Начнем с такого вида:

    \[a\left| x \right| + b = c\]

Решаем это уравнение как линейное: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    \[a\left| x \right| = c - b\]

Теперь обе части уравнения делим на число, стоящее перед модулем икса:

    \[\left| x \right| = \frac{{c - b}}{a}\]

Получили простейшее уравнение с модулем.

Примеры:

    \[1)5\left| x \right| + 7 = 52\]

    \[5\left| x \right| = 52 - 7\]

    \[5\left| x \right| = 45\_\_\_\_\left| {:5} \right.\]

    \[\left| x \right| = 9, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9;\\x =  - 9.\end{array} \right.\]

Ответ: 9;-9.

    \[2)9\left| x \right| - 2 = 34\]

    \[9\left| x \right| = 34 + 2\]

    \[9\left| x \right| = 36\_\_\_\_\left| {:9} \right.\]

    \[\left| x \right| = 4, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4;\\ x =  - 4. \end{array} \right.\]

Ответ: 4; -4.

    \[3)7\left| x \right| + 11 = 2\]

    \[7\left| x \right| = 2 - 11\]

    \[7\left| x \right| =  - 9\_\_\_\_\left| {:7} \right.\]

    \[\left| x \right| =  - \frac{7}{9}\]

Данное уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным числом.

Ответ: нет решений.

Также в 6 классе встречаются уравнения с модулем вида

    \[\left| {ax + b} \right| = c\]

Это уравнение — почти простейшее уравнение с модулем, соответственно, решаем его аналогично:

    \[npu\_c > 0\_\left| {ax + b} \right| = c, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} ax + b = c;\\ ax + b =  - c. \end{array} \right.\]

 

    \[npu\_c = 0\_\left| {ax + b} \right| = 0, \Rightarrow ax + b = 0.\]

    \[npu\_ - c < 0\_\left| {ax + b} \right| =  - c, \Rightarrow \emptyset .\]

Примеры:

    \[1)\left| {5x - 3} \right| = 7, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x - 3 = 7;\\ 5x - 3 =  - 7; \end{array} \right.\]

Каждое из полученных уравнений — линейное. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 5x = 7 + 3;\\ 5x =  - 7 + 3; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} 5x = 10\_\_\left| {:5} \right.\\ 5x =  - 4\_\_\left| {:5} \right. \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = 2;\\ x =  - 0,8. \end{array} \right.\]

Ответ:2; -0,8.

    \[2)\left| {12 - 4x} \right| = 0, \Rightarrow 12 - 4x = 0\]

    \[ - 4x =  - 12\_\_\left| {:( - 4)} \right.\]

    \[x = 3\]

Ответ:3.

    \[3)\left| {9x - 17} \right| =  - 21, \Rightarrow \emptyset .\]

Более сложные уравнения с модулем в 6 классе представляют собой сочетание обоих видов.

Примеры:

    \[1)\left| {7x - 5} \right| + 3 = 12\]

Сначала рассмотрим это уравнение как линейное (все выражение, стоящее под знаком модуля, считаем одним неизвестным):

    \[\left| {7x - 5} \right| = 12 - 3\]

    \[\left| {7x - 5} \right| = 9\]

Данное уравнение решим как простейшее уравнение с модулем:

    \[\left| {7x - 5} \right| = 9, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7x - 5 = 9;\\ 7x - 5 =  - 9; \end{array} \right.\]

 

    \[\left\{ \begin{array}{l} 7x = 9 + 5;\\ 7x =  - 9 + 5; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} 7x = 14\_\_\left| {:7} \right.\\ 7x =  - 4\_\_\left| {:7} \right. \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = 2;\\ x =  - \frac{4}{7} \end{array} \right.\]

Ответ: 2; -4/7.

    \[2)27 - 5\left| {2x + 1} \right| =  - 3\]

    \[ - 5\left| {2x + 1} \right| =  - 3 - 27\]

    \[ - 5\left| {2x + 1} \right| =  - 30\_\_\left| {:( - 5)} \right.\]

    \[\left| {2x + 1} \right| = 6, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + 1 = 6;\\ 2x + 1 =  - 6; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2x = 6 - 1;\\ 2x =  - 6 - 1; \end{array} \right.\]

 

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2x = 5\_\_\left| {:2} \right.\\ 2x =  - 7\_\_\left| {:2} \right. \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} x = 2,5;\\ x =  - 3,5. \end{array} \right.\]

Ответ: 2,5; -3,5.

141 комментарий к “Уравнения с модулем в 6 классе”

    1. Светлана Иванова

      -|х|=3
      |х|=-3
      Нет решений, так как модуль не может быть отрицательным числом.

    1. Светлана Иванова

      |х|= -3 + 2; |х|= -1. Нет решений, так как модуль не может быть равным отрицательному числу.

  1. Любовь

    Будьте добры, объясните решение примера с модулем в модуле:
    |-|3-х^2||=6

    PS. х в квадрате.

    1. Светлана Иванова

      |-|3-х²||=6; |3-х²|=6; 3-х²=±6; 3-х²=6 или 3-х²=-6; х²=-3 или х²=9. Первое из уравнений не имеет корней, корни второго — x=3 и x=-3.
      Но это не 6-й класс).

    1. Светлана Иванова

      3|x+4|=18+7; 3|x+4|=25; |x+4|=25/3; x+4=±8 1/3
      x+4=8 1/3 или x+4=-8 1/3; x=8 1/3-4 или x=-8 1/3-4; x=4 1/3 или x=-12 1/3.

    1. Светлана Иванова

      Если |х|=1, то х=1 или х=-1.
      Если |х-3|=1, то х-3=1 или х-3=-1, откуда х=4 или х=2.
      Если |х|=х, то х — любое неотрицательное число, то есть х≥0.

  2. Бексултан

    Спасибо вам очень сильно помогло.Вседа были проблемы, а сейчас нету

    1. Светлана Иванова

      Бексултан, если все новые темы разбирать по мере изучения, проблем не будет. Учитесь, и всё у Вас получится!

    1. Светлана Иванова

      Это уравнение типа произведение равно нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый их множителей:3+|x|=0 или 4-2|x|=0. Отсюда |x|=-3 или 2|x|=4, |x|=2. Уравнение |x|=-3 не имеет корней, уравнение |x|=2 имеет два корня: х=2 и х=-2.

        1. Светлана Иванова

          Получается, что у Вас в одном уравнении две переменные ещё и х. Нужно либо еще одно уравнение, либо Вы что-то в условии напутали.

          1. Светлана Иванова

            Что-то не то с условием. Может, пришлёте фото задания?

    1. Светлана Иванова

      1)Если х≥0, то |х|=х и уравнение принимает вид х²=-4х, корни которого равны 0 и -4. Условию х≥0 удовлетворяет только х=0.
      2) если х<0, |х|=-х и -х²=-4х, корни х=0 и х=4. Условию х<0 корни не удовлетворяют.
      Ответ: 0.

      1. Светлана Михайловна

        Если x+1≥0, то есть x≥-1, то |x+1|=x+1. Получаем уравнение x+1=x+1, откуда 0x=0. Решением этого уравнения является любое число, удовлетворяющее начальному условию x≥-1.
        Если x+1<0, то есть x<-1, то |x+1|=-(x+1). Получаем уравнение -(x+1)=x+1, откуда -x-1=x+1, -2x=2, x=-1. -1 не удовлетворяет условию x<-1. Ответ: x≥-1.

    1. Светлана Михайловна

      -|x|=10-7
      -|x|=3
      |x|=-3. Уравнение не имеет корней, так как модуль не может равняться отрицательному числу.

    1. Светлана Михайловна

      Лилия, решить это уравнение не получится. Можно сказать только, что если модуль x+y равен нулю, то и x+y=0, а значит, x=-y, то есть x и y — противоположные числа.

    1. Светлана Михайловна

      Одна скобка лишняя. ||2х+7|-3|=6-6; ||2х+7|-3|=0;|2х+7|-3=0; |2х+7|=3. Далее — 2 варианта:
      2х+7=3; 2x=-4; x=-2
      Или 2х+7=-3; 2x=-10; x=-5.
      Ответ: -2; -5.

    1. Светлана Михайловна

      |x|=-9+6
      |x|=-3
      Это уравнение не имеет решений, поскольку модуль не может быть равным отрицательному числу.

    1. Светлана Михайловна

      Это же не уравнение. Просто подставляем вместо x 1,2 и вычисляем:
      при x=1,2 2|x|+|1-3x|=2|1,2|+|1-3∙1,2|=2∙1,2+|-2,6|=2,4+2,6=5.

    1. Светлана Михайловна

      Олеся, Вы вполне можете найти значение этого выражения самостоятельно. Нужно просто подставить вместо x и y их значения:

          \[3 \cdot \left| {2\frac{5}{7} - 6} \right| + 4 \cdot ( - \frac{3}{7}) = 3 \cdot 3\frac{2}{7} - \frac{{12}}{7} = \]

          \[ = \frac{{3 \cdot 23}}{7} - \frac{{12}}{7} = \frac{{69 - 12}}{7} = \frac{{57}}{7} = 8\frac{1}{7}.\]

    1. Светлана Михайловна

      Антон, ведь сверху есть аналогичные примеры. Один раз разберитесь, и проблем с такими заданиями больше не будет.
      |5x+1|=3,⇒5x+1=3 или 5x+1=-3. Решаем получившиеся два линейных уравнения:
      5x=3-1; 5x=2; x=0,4.
      5x=-3-1; 5x=-4; x=-0,8.

    1. Светлана Михайловна

      Вместо x и y подставляем их значения х=-1, у=-4:
      3х-2|у-1|=3∙(-1)-2∙|-4-1|=-3-2∙|-5|=
      Так как |-5|=5, то
      =-3-2∙5=-3-10=-13.

    1. Светлана Михайловна

      Здесь можно только упростить.Так как |-x|=|x|, то
      -6 ∙|x| -10 ∙|-x|=-6 ∙|x| -10 ∙|x|= -16|x|.

    1. Светлана Михайловна

      x-4=2 или x-4= -2. Решаем оба уравнения по отдельности. Получаем два корня:
      x=2+4; x=6
      x= -2+4; x=2.

    1. Светлана Михайловна

      Самый простой способ решения уравнений такого вида — возвести обе части уравнения в квадрат (если Вы уже знаете, как решаются квадратные уравнения).
      Другой вариант — модули по очереди открыть с разными знаками. Получится 3 различных уравнения:
      3x+2=x-1; -(3x+2)=x-1; 3x+2=-(x-1) (-(3x+2)=-(x-1)- такое же, как и 1-е).
      Затем решаем каждое из этих уравнений. Полученные корни для проверки подставляем в условие и убираем посторонний корень.

    1. Светлана Михайловна

      Умножим обе части уравнения на -1:
      |-x|= -72. Так как модуль не может быть отрицательным числом, уравнение не имеет решений.

    1. Светлана Михайловна

      Так как |-4|=4, то уравнение сводится к уравнению |x|=4, откуда x=4, x=-4.

    1. Светлана Михайловна

      |x|= -x.Это равенство верно для любого неположительного числа (то есть x≤0).
      Следовательно, x∈(-∞;0].

    1. Светлана Михайловна

      Подставив вместо y 4, получаем уравнение |2х|-4=0. Отсюда |2х|=4; 2х=4 или 2х=-4.
      Решив оба уравнения, получаем x=2 либо x=-2.

    1. Светлана Михайловна

      Можно рассмотреть 2 варианта раскрытия модулей.
      1)Если модули раскрываются с одинаковыми знаками, то
      3x-1=2x+6 или -(3x-1)=-(2x+6)
      x=7
      2)Если модули раскрываются с разными знаками, то
      -(3x-1)=2x+6 или 3x-1=-(2x+6)
      x=-1.
      Легче всего решить это уравнение возведением в квадрат обеих частей, но для этого надо уметь решать квадратные уравнения.

    1. Светлана Михайловна

      Это — линейное уравнение. Уравнение вида ax=b при a≠0 имеет единственный корень x=b/a.
      Для данного уравнения это означает, что при (a-3)(a+2)≠0, то есть при a≠3 и a≠-2 уравнение имеет единственный корень x=(a+2)/((a-3)(a+2)), то еcть x=1/((a-3).
      При a=0, b=0 уравнение имеет бесконечное множество решений (x — любое число). В данном уравнении это условие выполняется при a=-2.
      При a=0, b≠0 уравнение не имеет корней. Для данного уравнения это условие выполнено при a=3.

    1. Светлана Михайловна

      Если x<0, то |х|=-х;-х=2х+2017;-х-2х=2017;-3х=2017; х=-672 1/3.-672 1/3<0, условие выполнено.
      Если x≥0, то |х|=х; х=2х+2017; х-2х=2017;-х=2017; х=-2017.Это число не удовлетворяет условию x≥0,значит, оно не является корнем данного уравнения.

    1. Светлана Михайловна

      ||x|-9|=3
      |x|-9=3 или |x|-9=-3
      |x|=3+9 |x|=-3+9
      |x|=12 |x|=6
      x=12 или x=-12 x=6 или x=-6.
      Ответ: -12; -6; 6; 12.

    1. Светлана Михайловна

      1) если x>0, |x|=x
      7x+4x=-3
      11x=-3
      x= -3/11.
      -3/11 не удовлетворяет условию x>0, поэтому при x>0 это уравнение не имеет корней.
      2) если x<0,|x|=-x
      7x-4x=-3
      3x=-3
      x=-1.
      -1 удовлетворяет условию x<0.
      Ответ: -1.

    1. Светлана Михайловна

      Артём, у Вас знаков модуля больше, чем нужно:||x|-5|=6
      |x|-5=6 или |x|-5=-6
      |x|=11 или |x|=-1
      Из первого уравнения x=11 x=-11, второе уравнение не имеет решений.

    1. Светлана Михайловна

      Условие N<|N| выполнено для отрицательных чисел, то есть если N<0.

    1. Светлана Михайловна

      Антон, а давайте Вы попробуете решить этот пример самостоятельно, а я его проверю. Если будут ошибки, помогу. Идёт?

    1. Светлана Михайловна

      Антон, обе части линейного уравнения делим на число, стоящее ПЕРЕД иксом.
      −21:|x|=0,04−7,04
      −21:|x|=−7
      |x|=−7:(-21)
      |x|=1/3
      x=1/3 или x=-1/3.

    1. Светлана Михайловна

      Антон, успехов Вам в изучении математики! Не бойтесь решать самостоятельно и делать ошибки. Это же учёба. А вот если ничего не делать, то не получится научиться.

    1. Светлана Михайловна

      Модуль отрицательного числа равен противоположному числу. Например, |-9|=9. Дальше — дело техники.

    1. Светлана Михайловна

      Успехов Вам в учёбе, Татьяна! Используйте время карантина наилучшим образом.

    1. Светлана Михайловна

      ||x|-5|=6
      |x|-5=6 или |x|-5=-6
      |x|=11 |x|=-1
      x=11 или x=-11 уравнение не имеет корней
      Ответ: -11; 11.

  3. Ольга

    Здравствуйте, уважаемая Светлана Михайловна! Помогите, пожалуйста разобраться. Ребенок на вступительном тестировании в лицей решал пример: 3-|4|x|-7|=-4^2 (четыре в квадрате, но с минусом большой вопрос: что тут имелось в виду — квадрат числа с минусом? Тогда, может, скобки должны были быть? Или просто ребенок неправильно переписал пример). Что Вы скажете по поводу решения данного примера?

    1. Светлана Михайловна

      Во-первых, если бы в квадрат возводили -4, то обязательно должны быть скобки.
      Во-вторых, чтобы получить 16, из 3 надо вычесть -13, а модуль не может быть равным отрицательному числу.
      Поэтому
      3-|4|x|-7|=-4²
      |4|x|-7|=3+16
      |4|x|-7|=19
      4|x|-7=19 или 4|x|-7=-19
      1)4|x|-7=19
      4|x|=26
      |x|=6,5
      x=±6,5
      2)4|x|-7=-19
      4|x|=-12
      |x|=-3 -это уравнение не имеет корней.
      Ответ: ±6,5

  4. Ольга

    Спасибо огромное за разъяснение и за этот сайт! Очень помогает вспомнить свою школьную программу и прояснить все узкие места для современных школьников :)). СПАСИБО!

  5. Марго

    Здравствуйте, помогите пожалуйста решить уравнение с модулями /5-/4x-7//*(2x+19)=0

    1. Светлана Михайловна

      |5-|4x-7||∙(2x+19)=0
      |5-|4x-7||=0 или 2x+19=0
      1)|5-|4x-7||
      5-|4x-7|=0
      |4x-7|=5
      4x-7=5 или 4x-7=-5
      x=3 x=0,5
      2)2x+19=0
      x=-9,5
      Ответ: -9,5; 0,5; 3.

    1. Светлана Михайловна

      |7x-57,1|-|-14/3|=|31/3|
      Так как |-14/3|=14/3,|31/3|=31/3, то
      |7x-57,1|-14/3=31/3
      |7x-57,1|=31/3+14/3
      |7x-57,1|=15
      7x-57,1=15 или 7x-57,1=-15
      7x=72,1 7x=42,1
      x=10,3 x=42,1/7 или x=421/70.

  6. Екатерина

    Помогите, пожалуйста: Найдите значение выражения: | — 4 | + |1 – 3х| , при х = 2,4.

  7. Здравствуйте, помогите пожалуйста решить уравнение с модулем |4-|1-2x||=22

    1. Светлана Михайловна

      4-|1-2x|=22 или 4-|1-2x|=-22
      1)4-|1-2x|=22
      |1-2x|=-18. Это уравнение не имеет корней, так как модуль не может быть равным отрицательному числу.
      2)4-|1-2x|=-22
      |1-2x|=-26. Это уравнение также не имеет корней.
      Ответ: нет корней.

    1. Светлана Михайловна

      Подставляем x=7 и y=-2 в данное выражение:
      4(y+1)-3|x+5|=4(-2+1)-3|7+5|=-4-36=-40.

    1. Светлана Михайловна

      Самый простой способ — возвести в квадрат обе части и решить полученное квадратное уравнение. В 6 классе квадратных уравнений решать ещё не умеем, действуем иначе. Каждый модуль можно раскрыть с знаками плюс и минус. Таким образом, получаем 2 случая: если знаки модулей одинаковы и если они разные.
      1)3x+2=x-1; 2x=-3; x=-1,5
      2)3x+2=-(x-1); 3x+2=-x+1; 4x=-1; x=-0,25.

    1. Светлана Михайловна

      1)|6+5x|=2
      6+5x=2 или 6+5x=-2
      x=-4/5 или x=-8/5
      2) |8-|x+2||=7
      8-|x+2|=7 или 8-|x+2|=-7
      |x+2|=1 или |x+2|=15
      x+2=1 или x+2=-1 или x+2=15 или x+2=-15
      x=-1 или x=-3 или x=13 или x=-17.

  8. Богдан

    Почему |x|=10, то x=-10;x=10
    И |-x|=10, x=-10;x=10
    Почему минус перед буквой в модуле ничего не значит?

    1. Светлана Михайловна

      Богдан, потому что модуль числа a — это расстояние от начала отсчёта (точки О с координатой 0) до точки с координатой а. На координатной прямой на расстоянии 10 от нуля находятся две точки — точка с координатой 10 и точка с координатой -10.

    1. Светлана Михайловна

      3∙|0,2х+4|=-5,4+3; 3∙|0,2х+4|=-2,4; |0,2х+4|=-2,4:3; |0,2х+4|=-0,8. Нет решений, так как модуль не может быть отрицательным.

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Scroll to Top