Решение пропорций

Рассмотрим решение пропорций на конкретных примерах. 

Решить уравнения с пропорцией:

 1)  25 : x = 10 : 18

Здесь x — неизвестный средний член пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов разделим на известный средний член:

    \[x = \frac{{\mathop {25}\limits^5  \cdot \mathop {18}\limits^9 }}{{\mathop {10}\limits_{\mathop 2\limits_1 } }}\]

25 и 10 сокращаем на 5. Затем 18 и 2 сокращаем на 2.

    \[x = 45\]

Ответ: 45.

    \[2)\frac{y}{{21}} = \frac{9}{{14}}\]

Здесь y — неизвестный крайний член пропорции. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член:

    \[y = \frac{{\mathop {21}\limits^3  \cdot 9}}{{\mathop {14}\limits_2 }}\]

    \[y = \frac{{27}}{2}\]

    \[y = 13,5\]

Ответ: 13,5.

При решении пропорций с десятичными дробями удобно для упрощения вычислений использовать основное свойство дроби.

    \[3)4,5:0,6 = z:2,4\]

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов делим на известный средний член пропорции:

    \[z = \frac{{4,5 \cdot 2,4}}{{0,6}}\]

В числителе после запятой в общей сложности два знака, в знаменателе — один. Поэтому, умножив и числитель, и знаменатель на 100,  мы получим дробь, равную данной. В числителе умножение на 100 распределим так: каждый из множителей умножим на 10. В знаменателе 0,6 умножим на 10 и результат умножим на 10: 

    \[z = \frac{{4,5 \cdot 10 \cdot 2,4 \cdot 10}}{{0,6 \cdot 100}}\]

Сокращаем 24 и 6 на 6, 10 и 45 — на 5:

    \[z = \frac{{\mathop {45}\limits^9  \cdot \mathop {24}\limits^4 }}{{\mathop 6\limits_1  \cdot \mathop {10}\limits_2 }}\]

Еще раз сокращаем 4 и 2 на 2:

    \[z = \frac{{9 \cdot \mathop 4\limits^2 }}{{\mathop 2\limits_1 }}\]

    \[z = 18\]

Ответ: 18.

Решение пропорций с обыкновенными дробями и смешанными числами удобнее записывать в строчку.

    \[4)k:2\frac{3}{{23}} = 3\frac{2}{7}:\frac{1}{4}\]

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов разделим на известный крайний член:

    \[k = 2\frac{3}{{23}} \cdot 3\frac{2}{7}:\frac{1}{4}\]

Смешанные числа переводим в неправильные дроби:

    \[k = \frac{{49}}{{23}} \cdot \frac{{23}}{7} \cdot 4\]

    \[k = \frac{{\mathop {49}\limits^7  \cdot \mathop {23}\limits^1  \cdot 4}}{{\mathop {23}\limits_1  \cdot \mathop 7\limits_1 }}\]

    \[k = 28\]

Ответ: 28.

При решении более сложных пропорций удобно использовать непосредственно основное свойство пропорции.

    \[5)\frac{{2x - 3}}{{15}} = \frac{6}{5}\]

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов:

    \[5(2x - 3) = 15 \cdot 6\]

Здесь удобно упростить уравнение, разделив обе части на 5:

    \[2x - 3 = 3 \cdot 6\]

    \[2x - 3 = 18\]

    \[2x = 18 + 3\]

    \[2x = 21\]

    \[x = 21:2\]

    \[x = 10,5\]

Ответ: 10,5.

    \[6)\frac{{2x - 3,2}}{{1,2}} = \frac{{5x - 6}}{{0,5}}\]

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

    \[1,2(5x - 6) = 0,5(2x - 3,2)\]

Для упрощения вычислений удобно умножить каждую часть уравнения на 10:

    \[1,2(5x - 6) = 0,5(2x - 3,2)\_\_\_\left| { \cdot 10} \right.\]

    \[12(5x - 6) = 5(2x - 3,2)\]

    \[60x - 72 = 10x - 16\]

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    \[60x - 10x =  - 16 + 72\]

    \[50x = 56\]

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    \[x = 56:50\]

    \[x = 1,12\]

Ответ: 1,12.

74 комментария к “Решение пропорций”

    1. Светлана Иванова

      Илья, главное — не останавливаться на достигнутом. Математика не сложна, если каждую новую тему разбирать сразу же, а не откладывать на «потом».

        1. Светлана Иванова

          Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо произведение её средних членов разделить на известный крайний член:

              \[x = \frac{{\mathop {\overline {103,2} }\limits^6  \cdot 5,6}}{{\mathop {\underline {17,2} }\limits_1 }}\]

              \[x = 33,6\]

    1. Светлана Иванова

      Пожалуйста!
      В математике есть еще очень много интересного 🙂

  1. Джузеппе

    Блин , у меня проблемка , учитель не разрешает с двух этажными числами делать т.е она говооит распределять по порядку числитель из знаменатель без этажей , вообщем я не вникаю 🙁

    1. Светлана Иванова

      При «распределении этажей» в числителе числитель остается в числителе, знаменатель уходит в знаменатель.
      В знаменателе наоборот: числитель остаётся в знаменателе, знаменатель уходит в числитель. Пожалуй, напишу-ка я на эту тему пост.

    1. Светлана Иванова

          \[\frac{{x - 25}}{{x - 7}} =  - 5\]

      Можно записать как

          \[\frac{{x - 25}}{{x - 7}} = \frac{{ - 5}}{1}\]

      В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов:

          \[1 \cdot (x - 25) =  - 5(x - 7)\]

      (единицу можно не писать). Дальше решаем обычное линейное уравнение:

          \[x - 25 =  - 5x + 35\]

          \[x + 5x = 35 + 25\]

          \[6x = 60\]

          \[x = \frac{{60}}{6}\]

          \[x = 10\]

  2. муслим

    помогите мне решать это уравнения
    два целых два третых :три целых одна третых =X:3,5
    эти точки разделить

    1. Светлана Иванова

      По основному свойству пропорции.

          \[\frac{{x + 7}}{3} = \frac{{2x + 3}}{5}\]

      Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов:

          \[5(x + 7) = 3(2x + 3)\]

      5х+35=6х+9; 5х-6х=9-35; -х=-26; х=26.

  3. Ануар

    Светлана, Здраствуйте! не могу решить и найти подобный пример x:восемь девятых=3:4

    1. Светлана Иванова

      Данила, с дробями — так же как и с целыми числами, только с использованием правил умножения и деления дробей.

    1. Светлана Иванова

          \[3,6:\frac{{14}}{5} = x:\frac{5}{3}\]

      Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:

          \[x = 3,6 \cdot \frac{5}{3}:\frac{{14}}{5}\]

          \[x = 3\frac{6}{{10}} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{{14}}\]

          \[x = 3\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{{14}}\]

          \[x = \frac{{18 \cdot 5 \cdot 5}}{{5 \cdot 3 \cdot 14}}\]

      18 После сокращения на 5, 2 и 3 получаем

          \[x = \frac{{15}}{7}\]

          \[x = 1\frac{1}{7}\]

    1. Светлана Иванова

      Назар, если Вы имели в виду такую пропорцию:

          \[\frac{{3,75 - x}}{{1,1}} = \frac{{x - 2,5}}{{2,3}},\]

      то применяя основное свойство пропорции, получаем:

          \[2,3(3,75 - x) = 1,1(x - 2,5)\]

      Умножим обе части уравнения на 10:

          \[23(3,75 - x) = 11(x - 2,5)\]

          \[86,25 - 23x = 11x - 27,5\]

          \[ - 23x - 11x =  - 27,5 - 86,25\]

          \[ - 34x =  - 113,75\]

          \[x = \frac{{113,75}}{{34}} = \frac{{455}}{{34}} = 13\frac{{13}}{{34}}.\]

      1. Пожалуйста помогите:
        Найдите х в пропорциях
        6/7=10х/21.
        Очень нужно! Спасибо!!!

        1. Светлана Иванова

          Увы, срочно получается далеко не всегда.

              \[\frac{6}{7} = \frac{{10x}}{{21}}\]

              \[10x = \frac{{6 \cdot \mathop {\overline {21} }\limits^3 }}{{\mathop {\underline 7 }\limits_1 }}\]

              \[10x = 18\]

              \[x = \frac{{18}}{{10}}\]

          x=1,8.

  4. Сергей

    Светлана Ивановна Вы умничка то что учил 30 лет назад помогли вспомнить математику всегда любил

    1. Светлана Иванова

      Спасибо, Сергей! А вспомнили, что учили 30 лет назад, потому что математику любили).

  5. Богдан

    Помогите не могу решить 4,5:27=7y:21 = сколько будет помогите ( если не трудно напишите как решать )

    1. Светлана Иванова

      Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:
      7y=(4,5∙21):27; 7у=3,5; у=3,5:7; у=0,5.

  6. Светлана Иванова

    Алина, я не совсем поняла условие. Возможно, пример выглядит так:

        \[\frac{{\frac{{10}}{3}}}{{\frac{{37}}{{9x}}}} = \frac{{\frac{2}{4}}}{{\frac{1}{6}}}\]

    В другом варианте запись выглядит так:

        \[\frac{{10}}{3}:\frac{{37}}{{9x}} = \frac{2}{4}:\frac{1}{6}\]

    Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо проихведение крайних членов разделить на известный средний член:

        \[\frac{{37}}{{9x}} = \frac{{10}}{3} \cdot \frac{1}{6}:\frac{2}{4}\]

        \[\frac{{37}}{{9x}} = \frac{{10}}{9}\]

    Еще раз применим то же правило:

        \[9x = 37 \cdot 9:10\]

    Проще сразу же разделить на 9 обе части уравнения, получим

        \[x = 37:10\]

    x=3,7.

  7. Павел

    Здравствуйте. Хочу задать несколько вопросов: если в пропорции переменная содержится в знаменателе, то определение ОДЗ здесь будет лишним? Или же подстановка корней, чтобы проверить, не обращается ли знаменателель в нуль? Заранее спасибо.

    1. Светлана Иванова

      ОДЗ, в принципе, нужно определять всегда. Можно и через проверку корней. В 6 классе ОДЗ мы ещё не рассматриваем.

    1. Светлана Иванова

      Возможно, имеется в виду, что множитель представляет собой квадрат?

    1. Светлана Михайловна

      Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, перемножаем средние члены и их произведение делим на известный крайний член: 3y-7=33∙5:15
      3y-7=11
      3y=11+7
      3y=18
      y=6.

  8. А почему в примере k разделить на две целых три двадцать третьих равняется три целых две седьмых разделить на одну четвертую, мы одну четвертую превратили в 4, ведь одна четвертая не смешанная дробь

    1. Светлана Михайловна

      Потому что деление на дробь заменяется умножением на обратное число. 4 — число, обратное 1/4.

    1. Светлана Михайловна

      В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов: x²=16. Отсюда x=4 или x=-4. Но это уже из алгебры.

    1. Светлана Михайловна

      Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов:
      0,5(12x-10)=13∙16
      6x-5=208
      6x=213
      x=35 1/2.

    1. Светлана Михайловна

          \[\frac{{3x - 4}}{6} = \frac{7}{8}\]

      В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению её средних членов:
      8∙(3x-4)=6∙7. Далее решаем линейное уравнение. 24x-32=42; 24x=42+32; 24x=74; x=74/24; x=3 1/12.

    1. Светлана Михайловна

      x=(2a+4)/(а²-4). Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь (при условии, что знаменатель отличен от нуля).
      x=2(a+2)/((a+2)(a-2)), x=2/(a-2).

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Scroll to Top