Решение пропорций

Рассмотрим решение пропорций на конкретных примерах. 

Решить уравнения с пропорцией:

 1)  25 : x = 10 : 18

Здесь x — неизвестный средний член пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов разделим на известный средний член:

    \[x = \frac{{\mathop {25}\limits^5  \cdot \mathop {18}\limits^9 }}{{\mathop {10}\limits_{\mathop 2\limits_1 } }}\]

25 и 10 сокращаем на 5. Затем 18 и 2 сокращаем на 2.

    \[x = 45\]

Ответ: 45.

    \[2)\frac{y}{{21}} = \frac{9}{{14}}\]

Здесь y — неизвестный крайний член пропорции. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член:

    \[y = \frac{{\mathop {21}\limits^3  \cdot 9}}{{\mathop {14}\limits_2 }}\]

    \[y = \frac{{27}}{2}\]

    \[y = 13,5\]

Ответ: 13,5.

При решении пропорций с десятичными дробями удобно для упрощения вычислений использовать основное свойство дроби.

    \[3)4,5:0,6 = z:2,4\]

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов делим на известный средний член пропорции:

    \[z = \frac{{4,5 \cdot 2,4}}{{0,6}}\]

В числителе после запятой в общей сложности два знака, в знаменателе — один. Поэтому, умножив и числитель, и знаменатель на 100,  мы получим дробь, равную данной. В числителе умножение на 100 распределим так: каждый из множителей умножим на 10. В знаменателе 0,6 умножим на 10 и результат умножим на 10: 

    \[z = \frac{{4,5 \cdot 10 \cdot 2,4 \cdot 10}}{{0,6 \cdot 100}}\]

Сокращаем 24 и 6 на 6, 10 и 45 — на 5:

    \[z = \frac{{\mathop {45}\limits^9  \cdot \mathop {24}\limits^4 }}{{\mathop 6\limits_1  \cdot \mathop {10}\limits_2 }}\]

Еще раз сокращаем 4 и 2 на 2:

    \[z = \frac{{9 \cdot \mathop 4\limits^2 }}{{\mathop 2\limits_1 }}\]

    \[z = 18\]

Ответ: 18.

Решение пропорций с обыкновенными дробями и смешанными числами удобнее записывать в строчку.

    \[4)k:2\frac{3}{{23}} = 3\frac{2}{7}:\frac{1}{4}\]

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов разделим на известный крайний член:

    \[k = 2\frac{3}{{23}} \cdot 3\frac{2}{7}:\frac{1}{4}\]

Смешанные числа переводим в неправильные дроби:

    \[k = \frac{{49}}{{23}} \cdot \frac{{23}}{7} \cdot 4\]

    \[k = \frac{{\mathop {49}\limits^7  \cdot \mathop {23}\limits^1  \cdot 4}}{{\mathop {23}\limits_1  \cdot \mathop 7\limits_1 }}\]

    \[k = 28\]

Ответ: 28.

При решении более сложных пропорций удобно использовать непосредственно основное свойство пропорции.

    \[5)\frac{{2x - 3}}{{15}} = \frac{6}{5}\]

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов:

    \[5(2x - 3) = 15 \cdot 6\]

Здесь удобно упростить уравнение, разделив обе части на 5:

    \[2x - 3 = 3 \cdot 6\]

    \[2x - 3 = 18\]

    \[2x = 18 + 3\]

    \[2x = 21\]

    \[x = 21:2\]

    \[x = 10,5\]

Ответ: 10,5.

    \[6)\frac{{2x - 3,2}}{{1,2}} = \frac{{5x - 6}}{{0,5}}\]

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

    \[1,2(5x - 6) = 0,5(2x - 3,2)\]

Для упрощения вычислений удобно умножить каждую часть уравнения на 10:

    \[1,2(5x - 6) = 0,5(2x - 3,2)\_\_\_\left| { \cdot 10} \right.\]

    \[12(5x - 6) = 5(2x - 3,2)\]

    \[60x - 72 = 10x - 16\]

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    \[60x - 10x =  - 16 + 72\]

    \[50x = 56\]

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    \[x = 56:50\]

    \[x = 1,12\]

Ответ: 1,12.

55 Comments

  1. Ника нет 03.10.2013 06:00 Ответить

    Норм сайт

  2. дима 13.05.2014 04:46 Ответить

    !!!Отличный сайт благодарю вас помогли респект кто это сделал!!!

    • Светлана Иванова 13.05.2014 07:51 Ответить

      Спасибо за теплый отзыв, Дима!

  3. илья окунев 26.05.2014 18:32 Ответить

    спссибо за обяснение блогодаря вам я смог понять как решать!!!

    • Светлана Иванова 26.05.2014 20:14 Ответить

      Илья, главное — не останавливаться на достигнутом. Математика не сложна, если каждую новую тему разбирать сразу же, а не откладывать на «потом».

      • Sweety 12.01.2016 15:07 Ответить

        Помогите !!! Х : 103,2=5,6 : 17,2

        • Светлана Иванова 13.01.2016 09:25 Ответить

          Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо произведение её средних членов разделить на известный крайний член:

              \[x = \frac{{\mathop {\overline {103,2} }\limits^6  \cdot 5,6}}{{\mathop {\underline {17,2} }\limits_1 }}\]

              \[x = 33,6\]

  4. nazli 21.09.2014 17:19 Ответить

    spasibo vam bolsoe vse super mne licno ponravilos

    • Светлана Иванова 21.09.2014 17:30 Ответить

      Пожалуйста!
      В математике есть еще очень много интересного :)

  5. Джузеппе 16.01.2015 20:32 Ответить

    Блин , у меня проблемка , учитель не разрешает с двух этажными числами делать т.е она говооит распределять по порядку числитель из знаменатель без этажей , вообщем я не вникаю :(

    • Светлана Иванова 18.01.2015 19:55 Ответить

      При «распределении этажей» в числителе числитель остается в числителе, знаменатель уходит в знаменатель.
      В знаменателе наоборот: числитель остаётся в знаменателе, знаменатель уходит в числитель. Пожалуй, напишу-ка я на эту тему пост.

  6. мария 30.01.2015 14:55 Ответить

    1
    4 2 / 1,5 = y / 2 как решить?

    • Светлана Иванова 01.02.2015 16:06 Ответить

      Мария, условие непонятно. К чему относится 1?

  7. Лиза 09.09.2015 17:23 Ответить

    Помогите решить,плиииз!!
    (х-25)
    ———— = — 5
    (х-7)

    • Светлана Иванова 10.09.2015 21:37 Ответить

          \[\frac{{x - 25}}{{x - 7}} =  - 5\]

      Можно записать как

          \[\frac{{x - 25}}{{x - 7}} = \frac{{ - 5}}{1}\]

      В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов:

          \[1 \cdot (x - 25) =  - 5(x - 7)\]

      (единицу можно не писать). Дальше решаем обычное линейное уравнение:

          \[x - 25 =  - 5x + 35\]

          \[x + 5x = 35 + 25\]

          \[6x = 60\]

          \[x = \frac{{60}}{6}\]

          \[x = 10\]

  8. муслим 11.09.2015 10:45 Ответить

    помогите мне решать это уравнения
    два целых два третых :три целых одна третых =X:3,5
    эти точки разделить

    • Светлана Иванова 30.09.2015 23:07 Ответить

          \[2\frac{2}{3}:3\frac{1}{3} = x:3,5\]

          \[x = 2\frac{2}{3} \cdot 3,5:3\frac{1}{3}\]

          \[x = \frac{{8 \cdot 35 \cdot 3}}{{3 \cdot 10 \cdot 10}}\]

          \[x = 2,8\]

  9. Матвей 18.09.2015 23:38 Ответить

    Как решать с двумя неизвестными членами?
    x+7 | 3 = 2x+3 | 5

    • Светлана Иванова 30.09.2015 22:51 Ответить

      По основному свойству пропорции.

          \[\frac{{x + 7}}{3} = \frac{{2x + 3}}{5}\]

      Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов:

          \[5(x + 7) = 3(2x + 3)\]

      5х+35=6х+9; 5х-6х=9-35; -х=-26; х=26.

  10. Ануар 22.09.2015 16:12 Ответить

    Светлана, Здраствуйте! не могу решить и найти подобный пример x:восемь девятых=3:4

    • Светлана Иванова 30.09.2015 22:54 Ответить

          \[x:\frac{8}{9} = 3:4\]

          \[x = \frac{8}{9} \cdot 3:4\]

          \[x = \frac{{\mathop {\overline 8 }\limits^2  \cdot \mathop {\overline 3 }\limits^1 }}{{\mathop {\underline 9 }\limits_3  \cdot \mathop {\underline 4 }\limits_1 }}\]

          \[x = \frac{2}{3}\]

  11. Данила 22.09.2015 17:56 Ответить

    Сайт хороший только я не понимаюкак решить пронорцию с дробями

    • Светлана Иванова 30.09.2015 22:56 Ответить

      Данила, с дробями — так же как и с целыми числами, только с использованием правил умножения и деления дробей.

  12. Ануар 28.09.2015 11:15 Ответить

    2.7:2.5=8.4:7Х помогите, плиз)

    • Светлана Иванова 30.09.2015 22:36 Ответить

          \[7x = \frac{{2,5\cdot8,4}}{{2,7}}\]

          \[7x = \frac{{\mathop {\overline {25} }\limits^5  \cdot \mathop {\overline {84} }\limits^{28} }}{{\mathop {\underline {27} }\limits_9  \cdot \mathop {\underline {10} }\limits_2 }}\]

          \[7x = \frac{{5 \cdot 28}}{{9 \cdot 2}}\]

          \[x = \frac{{5 \cdot 28}}{{9 \cdot 2}}:7\]

          \[x = \frac{{5 \cdot 28}}{{9 \cdot 2 \cdot 7}}\]

          \[x = \frac{{5 \cdot 2}}{9};x = \frac{{10}}{9};x = 1\frac{1}{9}.\]

  13. Angel 30.10.2015 21:32 Ответить

    Помогите решить:3,6:14/5=×:5/3

    • Светлана Иванова 02.11.2015 22:36 Ответить

          \[3,6:\frac{{14}}{5} = x:\frac{5}{3}\]

      Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:

          \[x = 3,6 \cdot \frac{5}{3}:\frac{{14}}{5}\]

          \[x = 3\frac{6}{{10}} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{{14}}\]

          \[x = 3\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{{14}}\]

          \[x = \frac{{18 \cdot 5 \cdot 5}}{{5 \cdot 3 \cdot 14}}\]

      18 После сокращения на 5, 2 и 3 получаем

          \[x = \frac{{15}}{7}\]

          \[x = 1\frac{1}{7}\]

  14. Влада 17.11.2015 20:49 Ответить

    подскажите как решить х/у=3/2 найти х

    • Светлана Иванова 21.11.2015 17:17 Ответить

      Можно только выразить x через y:

          \[\frac{x}{y} = \frac{3}{2}, \Rightarrow x = \frac{{3y}}{2}.\]

  15. Назар 13.04.2016 18:55 Ответить

    Помогите !
    3.75-x. Х-2.5
    ———- = ————
    1. 1
    — —
    2. 3

    • Светлана Иванова 16.04.2016 09:43 Ответить

      Назар, если Вы имели в виду такую пропорцию:

          \[\frac{{3,75 - x}}{{1,1}} = \frac{{x - 2,5}}{{2,3}},\]

      то применяя основное свойство пропорции, получаем:

          \[2,3(3,75 - x) = 1,1(x - 2,5)\]

      Умножим обе части уравнения на 10:

          \[23(3,75 - x) = 11(x - 2,5)\]

          \[86,25 - 23x = 11x - 27,5\]

          \[ - 23x - 11x =  - 27,5 - 86,25\]

          \[ - 34x =  - 113,75\]

          \[x = \frac{{113,75}}{{34}} = \frac{{455}}{{34}} = 13\frac{{13}}{{34}}.\]

  16. Wiki 25.05.2016 17:16 Ответить

    Помогите плиз! Срооочно!!
    y : 2.4= 2 1/8 : 4 2/3

    • Светлана Иванова 25.05.2016 18:18 Ответить

          \[y = 2,4 \cdot 2\frac{1}{8}:4\frac{2}{3}\]

          \[y = \frac{{24}}{{10}} \cdot \frac{{17}}{8}:\frac{{14}}{3}\]

          \[y = \frac{{\mathop {\overline {12} }\limits^3  \cdot 17 \cdot 3}}{{5 \cdot \mathop {\underline 8 }\limits_2  \cdot 14}}\]

          \[y = \frac{{153}}{{140}} = 1\frac{{13}}{{140}}.\]

  17. Scofner-_-Stas 16.07.2016 14:40 Ответить

    Помогите y:51.6=11.2:34.4

    • Светлана Иванова 03.09.2016 18:48 Ответить

      у=(51,6∙11,2):34,4
      у=16,8

      • Лена 30.09.2016 19:31 Ответить

        Пожалуйста помогите:
        Найдите х в пропорциях
        6/7=10х/21.
        Очень нужно! Спасибо!!!

        • Светлана Иванова 27.10.2016 00:16 Ответить

          Увы, срочно получается далеко не всегда.

              \[\frac{6}{7} = \frac{{10x}}{{21}}\]

              \[10x = \frac{{6 \cdot \mathop {\overline {21} }\limits^3 }}{{\mathop {\underline 7 }\limits_1 }}\]

              \[10x = 18\]

              \[x = \frac{{18}}{{10}}\]

          x=1,8.

  18. Сергей 04.10.2016 18:04 Ответить

    Светлана Ивановна Вы умничка то что учил 30 лет назад помогли вспомнить математику всегда любил

    • Светлана Иванова 27.10.2016 00:02 Ответить

      Спасибо, Сергей! А вспомнили, что учили 30 лет назад, потому что математику любили).

  19. Богдан 25.11.2016 12:47 Ответить

    Помогите не могу решить 4,5:27=7y:21 = сколько будет помогите ( если не трудно напишите как решать )

    • Светлана Иванова 25.11.2016 22:09 Ответить

      Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:
      7y=(4,5∙21):27; 7у=3,5; у=3,5:7; у=0,5.

  20. Светлана Иванова 05.12.2016 19:52 Ответить

    Алина, я не совсем поняла условие. Возможно, пример выглядит так:

        \[\frac{{\frac{{10}}{3}}}{{\frac{{37}}{{9x}}}} = \frac{{\frac{2}{4}}}{{\frac{1}{6}}}\]

    В другом варианте запись выглядит так:

        \[\frac{{10}}{3}:\frac{{37}}{{9x}} = \frac{2}{4}:\frac{1}{6}\]

    Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо проихведение крайних членов разделить на известный средний член:

        \[\frac{{37}}{{9x}} = \frac{{10}}{3} \cdot \frac{1}{6}:\frac{2}{4}\]

        \[\frac{{37}}{{9x}} = \frac{{10}}{9}\]

    Еще раз применим то же правило:

        \[9x = 37 \cdot 9:10\]

    Проще сразу же разделить на 9 обе части уравнения, получим

        \[x = 37:10\]

    x=3,7.

  21. Павел 30.12.2016 00:00 Ответить

    Здравствуйте. Хочу задать несколько вопросов: если в пропорции переменная содержится в знаменателе, то определение ОДЗ здесь будет лишним? Или же подстановка корней, чтобы проверить, не обращается ли знаменателель в нуль? Заранее спасибо.

    • Светлана Иванова 09.01.2017 13:52 Ответить

      ОДЗ, в принципе, нужно определять всегда. Можно и через проверку корней. В 6 классе ОДЗ мы ещё не рассматриваем.

  22. Denis 26.01.2017 08:45 Ответить

    Помогите решить пример 3,7:11,1=x:на дробь 7/9

    • Светлана Иванова 26.01.2017 23:47 Ответить

          \[3,7:11,1 = x:\frac{7}{9}\]

          \[x = 3,7 \cdot \frac{7}{9}:11,1\]

          \[x = \frac{{37 \cdot 7 \cdot 10}}{{10 \cdot 9 \cdot 111}}\]

          \[x = \frac{7}{{27}}\]

  23. Denis 29.01.2017 11:25 Ответить

    Спасибо

  24. Denis 29.01.2017 11:34 Ответить

    Классифицируйте множетель как это понять.Например 4x в квадрате+7x+3

    • Светлана Иванова 31.01.2017 23:28 Ответить

      Возможно, имеется в виду, что множитель представляет собой квадрат?

  25. Илья 26.02.2017 20:34 Ответить

    Извиняюсь,
    (X) (4)
    ———=———-
    (X-70) (11)

    • Светлана Иванова 27.02.2017 17:25 Ответить

      Илья, если

          \[\frac{x}{{x - 70}} = \frac{4}{{11}},\]

      то

          \[11x = 4(x - 70)\]

          \[11x = 4x - 70;11x - 4x =  - 70;\]

          \[7x =  - 70;x =  - 10.\]

  26. Артём 21.09.2017 16:05 Ответить

    (3у-7):5=33:15

    • Светлана Михайловна 23.09.2017 09:45 Ответить

      Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, перемножаем средние члены и их произведение делим на известный крайний член: 3y-7=33∙5:15
      3y-7=11
      3y=11+7
      3y=18
      y=6.

  27. Тимур 04.11.2017 13:10 Ответить

    Спасибо большое! Очень помогли!

Добавить комментарий