Несократимая дробь

Определение.

Несократимая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно-простыми числами.

То есть единственным общим делителем числителя и знаменателя несократимой дроби является единица.

Примеры.

    \[1)\frac{5}{{12}}\]

Делители числителя: 1; 5

Делители знаменателя: 1; 2; 3; 4; 6; 12.

НОД (5; 12) =1, следовательно, 5 и 12 — взаимно-простые числа. Поэтому дробь

    \[\frac{5}{{12}}\]

является несократимой.

    \[2)\frac{{16}}{{21}}\]

Делители числителя: 1; 2; 4; 8; 16.

Делители знаменателя: 1; 3; 7; 21.

Наибольший (и единственный) общий делитель числителя и знаменателя — единица. Значит, числитель и знаменатель — взаимно-простые числа. Поэтому данная дробь — несократимая.

Согласно основному свойству дроби, дробь не изменится, если её числитель и знаменатель разделить на одно и то же число, отличное от нуля:

    \[\frac{a}{b} = \frac{{a:m}}{{b:m}}\]

Таким образом,

    \[\frac{a}{b}u\frac{{a:m}}{{b:m}}\]

- две различные записи одного и того же числа.

В математике принято ответ записывать в виде несократимой дроби. То есть если числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число, необходимо это сделать, иначе ответ не считается правильным.

Вот почему столь важно уметь определять, является ли дробь несократимой.

Как определить, является ли дробь несократимой?

1) Можно разложить числитель и знаменатель на простые множители и найти наибольший общий делитель. Если он равен 1, дробь несократима.

Например,

    \[\frac{{544}}{{945}}\]

- несократимая дробь, поскольку наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен единице и 544 и 945 — взаимно-простые числа.

nesokratimaya-drob

2) Если числитель и знаменатель — простые числа, то они являются взаимно-простыми, а дробь, соответственно, — несократимой.

Например, дробь

    \[\frac{{491}}{{769}}\]

несократима, так как 491 и 769 — простые числа (проверили по таблице простых чисел).

3) Можно проверять делимость числителя и знаменателя, используя признаки делимости.

Если ни один из делителей одного числа не является делителем другого, то общий делитель числителя и знаменателя — единица, то есть они являются взаимно-простыми числами, а дробь — несократимой.

Например,

    \[\frac{{105}}{{374}}\]

Числитель 105 делится на 5, 105:5=21. 21 делится на 3 и на 7. Следовательно, делители 105: 1; 3; 5; 7; 105.

Искать все делители знаменателя 374 не обязательно. Достаточно проверить, а не делится ли он на один из делителей числителя:

374 на 3 не делится (сумма 3+7+4=14),

на 5 не делится (запись заканчивается не на 0 и не на 5),

на 7 не делится (можно проверить непосредственным делением),

на 105 не делится.

Значит 1 — единственный общий делитель 105 и 374, они являются взаимно-простыми числами, а дробь — несократимой.

Добавить комментарий