Делимость на 11 зависит от соотношения сумм цифр, стоящих на чётных и нечётных местах в записи числа.
Признак делимости на 11
Натуральное число делится без остатка на 11, если сумма цифр, стоящих в записи числа на чётных местах:
— равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах;
— отличается от неё на 11.
Например, для шестизначного числа признак делимости на 11 схематично выглядит так:
Примеры.
Определить, какие из чисел делятся на 11:
572; 415; 2673; 6395; 1529; 88132; 70811; 717541; 619109.
Решение:
572 делится на 11, так как сумма цифр, стоящих на нечетных местах 5+2, равна числу 7, стоящему на чётном месте.
415 не делится на 11, так как сумма цифр 4+5=9, стоящих на нечётных местах, не равна числу 1, стоящему на чётном месте, и 1=(4+5)-8.
2673 делится на 11, потому что сумма цифр 6+3=9, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр 2+7=9, стоящих на нечётных местах.
6395 не делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 3+5=8. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 6+9=15. Суммы отличаются на 7.
1529 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 1+2=3. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 5+9=14. Суммы отличаются на 11: 1+2=(5+9)-11.
88132 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 8+3=11. Равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, 8+1+2=11.
70811 не делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 0+1=1. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 7+8+1=16. Суммы отличаются на 15.
717541 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 1+5+1=7. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 7+7+4=18. Суммы отличаются на 11: (7+7+4)=(1+5+1)+11.
Этот же признак делимости на 11 после изучения отрицательных чисел можно сформулировать иначе.
Если сумма цифр числа, взятых с чередующимися знаками, делится на 11, то и само число делится на 11.
Например, для шестизначного числа делимость на 11 в этом случае схематично можно изобразить так:
Для чисел из примера выше проверка делимости на 11, соответственно, выглядит так:
5-7+2=0. 0 делится на 11, значит, 572 также делится на 11.
4-1+5=8. 8 не делится на 11, поэтому 415 не делится на 11.
2-6+7-3=0. Так как 0 делится на 11, то и 2673 делится на 11.
6-3+9-5=7. 7 не делится на 11, следовательно, и 6395 не делится на 11.
1-5+2-9=-11. Поскольку -11 делится на 11, 1529 также делится на 11.
И так далее.
