Как изменится произведение

Как изменится произведение, если один множитель увеличить или уменьшить в несколько раз? А как изменится произведение, если один множитель увеличить, а второй — уменьшить в несколько раз? Рассмотрим эти вопросы в общем случае и на конкретных примерах.

 В общем случае умножение двух чисел можно записать так:

    \[a \cdot b = c\]

Поскольку от перестановки мест множителей произведение не меняется, не важно, который множитель изменяем, первый или второй. Если изменить один либо оба множителя, то произведение тоже изменится.

1) Если один из множителей увеличить в несколько раз, то произведение увеличится во столько же раз.

В общем виде: если один из множителей увеличить в k раз, то и произведение увеличится в k раз:

    \[(a \cdot k) \cdot b = c \cdot k\]

Пример:

    \[5 \cdot 4 = 20\]

Увеличив первый множитель 5 в 10 раз, получим 50 и:

    \[50 \cdot 4 = 200\]

Произведение 200 по сравнению с первоначальным 20 также увеличилось в 10 раз. Увеличив второй множитель в 10 раз, получим 40 и:

    \[5 \cdot 40 = 200\]

Пришли к тому же результату.

2) Если один из множителей уменьшить в несколько раз, то произведение уменьшится во столько же раз.

В общем виде: если один из множителей уменьшить в m раз, то и произведение уменьшится в m раз:

    \[(a:m) \cdot b = c:m\]

Пример:

    \[30 \cdot 12 = 360\]

Уменьшив первый множитель 30 в 6 раз, получим 5 и:

    \[5 \cdot 12 = 60\]

Произведение 60 по сравнению с первоначальным 360 также уменьшилось в 6 раз. Если уменьшить второй множитель 12 в 6 раз, получим тот же результат:

    \[30 \cdot 2 = 60.\]

Теперь посмотрим, как изменится произведение, если изменить сразу оба множителя.

3) Если один множитель увеличить в k раз, а второй — в m раз, то произведение увеличится в km раз:

    \[(a \cdot k) \cdot (b \cdot m) = c \cdot (k \cdot m)\]

Пример:

    \[7 \cdot 3 = 21\]

Увеличим первый множитель 7 в 2 раза, второй множитель 3 — в 5 раз:

    \[14 \cdot 15 = 210\]

Произведение 210 по сравнению с первоначальным 21 увеличилось в 10 раз, 10=2∙5. Если первый множитель 7 увеличить в 5 раз, а второй множитель 3 — в 2 раз, придем к тому же результату:

    \[35 \cdot 6 = 210.\]

4) Если один множитель уменьшить в k раз, а второй — уменьшить в m раз, то произведение уменьшится в km раз:

    \[(a:k) \cdot (b:m) = c:(k \cdot m)\]

Пример:

    \[20 \cdot 30 = 600\]

Уменьшим первый множитель 20 в 5 раз, а второй множитель 30 — в 2 раза:

    \[4 \cdot 15 = 60\]

Первоначальное произведение 600 уменьшилось в 10 раз, 10=5∙2. Если первый множитель 20 уменьшить в 2 раза, а второй — 30 — в 5 раз, получит тот же результат:

    \[10 \cdot 6 = 60.\]

5) Если один множитель увеличить в k раз, а другой — уменьшить в m раз (k>m), то произведение увеличится в k:m раз:

    \[(a \cdot k) \cdot (b:m) = c \cdot (k:m)\]

Пример:

    \[8 \cdot 6 = 48\]

Первый множитель 8 увеличим в 10 раз, а второй множитель 6 — уменьшим в 2 раза:

    \[80 \cdot 3 = 240\]

Произведение 240 по сравнению с первоначальным 48 увеличилось в 5 раз, 5=10:2. Тот же результат получим, если первый множитель 8 уменьшим в 2 раза, а второй — 6 — увеличим в 10 раз:

    \[4 \cdot 60 = 240.\]

6) Если один множитель увеличить в k раз, а другой — уменьшить в m раз (k<m), то произведение уменьшится в m:k раз:

    \[(a \cdot k) \cdot (b:m) = c:(m:k)\]

Пример:

    \[30 \cdot 12 = 360\]

Первый множитель 30 увеличим в 2  раза, второй множитель 12 — уменьшим в 6 раз:

    \[60 \cdot 2 = 120\]

Произведение 120 по сравнению с первоначальным 360 уменьшилось в 3 раза, 3=6:2. Если первый множитель 30 уменьшим в 6 раз, а второй множитель 12 — увеличим в 2 раза, придем к тому же результату:

    \[5 \cdot 24 = 120.\]

7) Если один множитель увеличить в несколько раз, а другой — уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится:

    \[(a \cdot k) \cdot (b:k) = c\]

Пример:

    \[40 \cdot 8 = 320\]

Первый множитель 40 увеличим в 4 раза, второй множитель 8 — уменьшим в 4 раза:

    \[160 \cdot 2 = 320\]

Произведение 320 не изменилось. Аналогичный результат получим, если первый множитель уменьшим в 4 раза, а второй — увеличим в 4 раза:

    \[10 \cdot 32 = 320.\]

Умение пользоваться этими свойствами умножения помогает существенно облегчить вычисления, в частности, упрощает устный счет.

Добавить комментарий