Рациональные числа

Что такое рациональные числа? Как связаны рациональные и целые числа? Рациональные и натуральные?

Определение.

Рациональные числа — это числа, которые могут быть представлены в виде

$\frac{m}{n},$

где m — целое, n — натуральное число:

$m \in Z,n \in N.$

Любое целое число a является рациональным, так как его можно записать в виде

$a = \frac{a}{1}.$

Например,

$5 = \frac{5}{1}; - 82 = \frac{{ - 82}}{1};0 = \frac{0}{1}.$

Любая обыкновенная отрицательная дробь является числом рациональным, так как может быть записана в виде

$- \frac{m}{n} = \frac{{ - m}}{n}.$

Например,

$- \frac{4}{7} = \frac{{ - 4}}{7}; - \frac{{23}}{{30}} = \frac{{ - 23}}{{30}}.$

Любая десятичная дробь является рациональным числом, так как ее можно перевести в обыкновенную (если надо, то сократить).

Например,

$0,4 = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5};$

$- 0,12 = \frac{{ - 12}}{{100}} = \frac{{ - 3}}{{25}}.$

Любое смешанное число является рациональным, так как его можно перевести в неправильную дробь.

Например,

$5\frac{3}{8} = \frac{{43}}{8}; - 3\frac{4}{9} = \frac{{ - 31}}{9};$

$6,4 = \frac{{64}}{{10}} = \frac{{32}}{5};$

$- 7,451 = \frac{{ - 7451}}{{1000}}.$

Сумма, разность, произведение рациональных чисел также являются рациональными числами.

Частное двух чисел является рациональным числом при условии, что делитель отличен от нуля.

Множество рациональных чисел обозначают буквой Q. Чтобы показать, что некоторое число, например, 4/11, является рациональным, пишут

$\frac{4}{{11}} \in Q$

Читают: «4/11 принадлежит множеству рациональных чисел» или просто «4/11 принадлежит ку» (в математике используют латинский алфавит).

Связь между множествами рациональных, целых и натуральных чисел наглядно иллюстрирует схема: